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中考复习：几何图形中的最值问题 几何图形中的最值问题 ★ 1.如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90°，AB＝5，BC＝3.若点 D 是 AB 边上任意一点，且不与点 A 、B 重合，连接 CD.将△ BCD 沿着 CD 所在的直线翻折，使得点 B 落在点 B ′处，连接 AB ′，则 AB ′的最小值 为________． 第 1 题图 1 【解析】在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得： AC ＝ AB2 2 －BC ＝ 52 2 －3 ＝4，由对称性可知： BC＝B ′C＝3 ，∵B ′C 的长度固定， ∴当 AB ′＋B ′C 的值最小时， AB ′的值最小，根据 “两点之间，线段最短 ”可 知当 A 、B ′、C 三点共线时， AB ′最小， ∴AB ′＝AC －B ′C＝4－3 ＝1. ★2.如图，在菱形 ABCD 中，AB＝4 3，∠ABC＝60°，点 M 、N 分别 是 BC、CD 上任意一点，点 P 是 BD 上一点，连接 PM 、PN，则 PM ＋PN 的最小值为 ________． 第 2 题图 第 2 题解图 6 【解析】如解图，作点 N 关于 BD 对称的点 N ′，根据菱形的对称 性可知点 N ′在 AD 上，又由两平行线之间，垂线段最短，过点 N ′作 1 7 N ′M ⊥BC 于点 M，故 MN ′与 BD 的交点 P 即满足 PM＋PN 的值最小， 3 故 MN ′＝AB sin· ∠ABC＝4 3 × ＝6. 2 ★3.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝9 ，BC＝12，点 E 是 BC 中点，点 F 是边 CD 上的任意一点，当 △AEF 的周长最小时，则 DF 的长为 ________． 第 3 题图 第 3 题解图 6 【解析】如解图，作点 E 关于直线 CD 的对称点 E ′，连接 AE ′交 CD 于点 F，∵在矩形 ABCD 中，AB＝9，BC＝12，点 E 是 BC 中点， CE ′ CF 6 ∴BE＝CE＝CE ′＝6， ∵AB ⊥BC，CD ⊥BC，∴ ＝ ，即 ＝ BE′ AB 12＋6 CF ，解得 CF ＝3 ，∴DF ＝CD －CF＝9－3＝6. 9 ★4.如图，在 Rt△ABO 中，∠AOB＝90°，AO ＋BO＝5 ，延长 AO 到 C ， 使 OC＝3，延长 BO 到 D ，使 OD ＝4，连接 BC、CD、DA，则四边 形 ABCD 面积的最大值为 ________． 第 4 题图 18 【解析】设 OA＝x，OB＝y，∵AO ＋BO＝5 ，∴x＋y ＝5 ， ∵延 中考复习：几