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角平分线专题 【类型一】角平分线倒角模型 例 1、把一副学生用三角板 (30 、60 、90 ) 和 (45 、45 、90 ) 如图 (1) 放置在平面直角坐标系中 , 点 A 在 y 轴正半轴上 , 直角边 AC与 y 轴重合 , 斜边 AD与 y 轴重合 , 直角边 AE 交 x 轴于 F, 斜边 AB交 x 轴于 G,O是 AC中点, AC 8 . (1) 把图 1 中的 Rt AED 绕 A 点顺时针旋转 度 (0 90 ) 得图 2, 此时 AGH 的面积是 10, AHF 的面积是 8, 分别求 F、H、B 三点的坐标 ; (2) 如图 3, 设 AHF 的平分线和 AGH 的平分线交于点 M, EFH 的平分线和 FOC 的平分线交 于点 N,当改变 的大小时 , N M 的值是否会改变 ?若改变 , 请说明理由 ; 若不改变 , 请求出 其值 . 检测 1、如图，已知点 A 是 y 轴上一动点， B 是 x 轴上一动点，点 C在线段 OB上，连接 AC，AC 正好是 OAB 的角平分线， ABD DBx ，问动点 A，B在运动的过程中， AC与 BD所在直线的 夹角是否发生变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值。 y x 检测 2、如图探究与发现： 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个 内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 已知：如图 1，∠ FDC与∠ ECD分别为△ ADC的两个外角，试探究∠ A 与∠ FDC+∠ECD的数量关 系． 探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图 2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ ADC和∠ ACD，试探究∠ P 与∠A 的数量关系． 探究三：若将△ ADC改为任意四边形 ABCD呢？ 已知：如图 3，在四边形 ABCD中，DP、CP分别平分∠ ADC和∠ BCD，试利用上述结论探究∠ P 与∠A+∠B 的数量关系． 探究四：若将上题中的四边形 ABCD改为六边形 ABCDEF（图4 ）呢？ 请直接写出∠ P 与∠A+∠B+∠E+∠F 的数量关系： ． 【类型二】点在线，垂两边 例 2、如图（ 1）， Rt ABC 中， ACB 90 ，CD AB ，垂足为 D 。AF 平分 CAB ，交 CD 于点 E，交 CB于点 F。 （1）求证： CE CF 。 （2）将图（1）中的 ADE 沿 AB 向右平移到 A D E 的位置，使点 E 落在 BC边上，其它条件不 变，如图（ 2 ）所示。试猜想： BE 与 CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论。 检测 1、如图，在△ ABC中，∠C＝90°，AD平分∠ CAB,BC＝6 cm ,BD＝4 cm , 那么点 D到直线 A B 的距离 是_________ ． 检测 2、已知 1= 2， 3= 4 ，求证 AP平分 BAC。 【类型三】线被垂，顺势延 例 3、如图，已知等腰 Rt △ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，从 C 向 BD作 垂线，垂足为 E.求证： BD＝2CE. 变式、如图 , ODC 中, D 90 ,EC 是 DCO 的平分线 , OE CE , 点 E作 EF OC 于点 F, 判断 E F 与 OD之间的数量关系 , 并加以证明 . 例 4 、如图 (a) 所示 ,BD、CE分别是△ ABC的外角平分线 , 过点 A 作 AD BD , AE CE , 垂足分别 1 为 D、E,连接 DE,求证 : DE // BC , DE (AB BC AC ) ; 2 (2) 如图 (