中考复习练习之——胡不归问题教师版.pdf

中考复习之——胡不归问题 从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路 . 由于思乡 心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→ B （如图所示），而 忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声 痛哭 . 邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…” . 这个古老的传说，引 起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的 “胡不归问题” . B 沙 砾 地 带 A C D 例 1. （2012 崇安模拟），如图， ABC 在平面直角坐标系中， AB=AC，A(0 ， 2 2 ），C （1，0），D 为射线 AO上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A→ D→C，点 P在 AD上的运动速度是在 CD上的 3 倍，要使整 个过程运动时间最少，则点 D 的坐标应为 （ ） 2 2 2 A. （0，2） B. （， ） 0 C. （0， ） D. （0， ） 2 3 4 【解答】解：假设 P 在 AD 的速度为 3，在 CD 的速度为 1， 设 D 坐标为（ 0 ，y ），则 AD ＝2 ﹣y，CD ＝ ＝ ， ∴设 t ＝ + ， 1 等式变形为： t+ y ﹣ ＝ ，则 t 的最小值时考虑 y 的取值即可， 2 2 2 ∴t + （ y ﹣ ）t + （ y ﹣ ） ＝y +1 ， 2 2 ∴ y + （ ﹣ t ）y ﹣t + t +1 ＝0， 2 2 △＝（ ﹣ t ） ﹣4 × （﹣t + t+1 ）≥ 0， ∴t 的最小值为 ， ∴y ＝ ， ∴点 D 的坐标为（ 0， ）， 故选 D ． 解法二：假设 P 在 AD 的速度为 3V ，在 CD 的速度为 1V ， 总时间 t ＝ + ＝ （ +CD ），要使 t 最小，就要 +CD 最小， 因为 AB ＝AC ＝3，过点 B 作 BH ⊥AC 交 AC 于点 H，交 OA 于 D ，易证△ ADH ∽△ ACO ，所以 ＝ ＝3 ，所以 ＝DH ，因为△ ABC 是等腰三角形，所以 BD ＝CD ，所以要 +CD 最小，就是要 DH + BD 最小，就要 B、D 、H 三点共线就行了．因为△ AOC ∽△ BOD ，所以 ＝ ，即 ＝ ，所以 OD ＝ ， 所以点 D 的坐标应为（ 0， ）． 例 2. （2016?徐州）