中考数学圆中分类讨论问题归类举例.pdf

圆中分类讨论问题归类举例 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关 于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一 加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考 题举例说明如下。 一、点和圆的位置 凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外 三种可能情形。 例 1.过不在⊙ O 上的一点 A ，作⊙ O 的割线，交⊙ O 于 B 、C ，且 AB ·AC ＝64 ，OA ＝10，则⊙ O 的半径 R 为___________ 。 解 ：依题意，点 A 与⊙ O 的位置关系有两种： （1）点 A 在⊙ O 内，如图 1，延长 AO 交⊙ O 于 F ，则 AE R 10，AF R 10 由相交弦定理得： R 10 R 10 64 所以 R 2 41 （负值已舍去） （2 ）点 A 在⊙ O 外，如图 2 ， 此时 AE 10 R，AF 10 R 由割线定理得： 10 R 10 R 64 所以 R 6 （负值已舍去） 故⊙ O 的半径 R 为 2 41 或 6。 - 1 - 二、点与弦的相对位置 例 2. ⊙O 是△ ABC 的外接圆，OD ⊥BC 于 D ，且∠ BOD ＝48 °，则∠ BAC ＝_________ 。 解：（ 1）点 A 和圆心 O 在弦 BC 同侧，如图 3，可求得∠ BAC ＝∠ BOD ＝48° （2 ）点 A 和圆心 O 在弦 BC 异侧，如图 4 ，可求得∠ BAC ＝132° 三、弦所对的圆周角 例 3.半 径为 1 的圆中有一条弦，如果它的长为 3 ，那么这条弦所对的圆周角的度数 等于 ___________ 。 解：弦所对的圆周角有两种情况： （1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为 60°； （2 ）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为 120°。 故应填 60°或 120°。 四、平行弦与圆心的位置 例 4.在半径为 5cm 的⊙ O 中，弦 AB ＝6cm ，弦 CD ＝8cm ，且 AB ∥CD ，求 AB 与 CD 之间的距离。 分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异 侧。 解：过 O 作 AB 、CD 的垂线，分别交 AB 、 CD 于点 E 、F，连接 OA 、OC. - 2 - 2 2 2 2 在 Rt△OAE 中， OE OA AE 5 3 4(cm) 在 Rt△OCF 中， OF OC2 CF 2 52 4 2 3(cm) （1）当 AB 、 CD 在圆心 O 的同侧时，如图 5，AB 和 CD 之间的距离为 EF 4 3 1(cm) （2 ）当 AB 、 CD 在圆心 O 的异侧时，如图 6，AB 和 CD 之间的距离为 EF 4 3 7(cm) 所以 AB 和 CD 之间的距离为 1cm 或 7cm 。 五、圆心与角的位置 例 5.在半径为 1 的⊙ O 中，弦 AB 、AC 的长分别为 3 和 2 ，则∠ BAC 的度数是 ____________ 。 解：如图 7，当圆心在∠ BAC 内部时，连接