中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析(DOC).pdf

数学专题之【 以三角形为基础 】精品解析 ——————————————————————————————————————— 中考数学综合题专题训练 【以三角形为基础的综合题四】 专题解析 1．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90 °，AC＝5，以斜边 AB 为底边向外作等腰三角形 PAB，连接 PC． （1）如图 1，当∠ APB＝90°时， ①求证： PC平分∠ ACB；②若 PC＝6 2 ，求 BC 的长； （2 ）如图 2，当∠ APB＝60°，PC＝5 2 时，求 BC的长． P A A P C B C B 图 1 图 2 （1）①证明：过点 P 分别作 AC、BC 的垂线，垂足为 E、F 则四边形 ECFP是矩形，∠ EPF＝90° － ∵∠ APB＝90°，∴∠ EPA＝ ∠FPB＝90° ∠APF 又 PA＝PB，∠ PEA＝ ∠PFB＝90°，∴△ PEA≌△ PFB E P ∴PE＝PF，∴矩形 ECFP是正方形 A ∴PC 平分∠ ACB ②解：延长 CB 至 D，使 BD＝AC＝5 ，连接 PD ∵在四边形 ACBP 中，∠ ACB＝ ∠APB＝90° ∴∠ PAC＋ ∠ PBC＝180° C F B D ＋ ∵∠ PBD ∠ PBC＝ 180°，∴∠ PAC＝ ∠PBD 图 1 又 PA＝PB，AC＝BD，∴△ PAC≌△ PBD ∴PC＝PD，∠ APC＝ ∠ BPD ＋ ＋ ∵∠ APC ∠ BPC＝90°，∴∠ BPD ∠BPC＝90° 即∠ CPD＝90°，∴△ PCD是等腰直角三角形 ∴CD＝ 2PC＝12 ∴BC＝CD－BD＝ 12－5＝7 （2 ）以 AC 为边向外作等边三角形 ACD，作 DE⊥BC于 E，连接 DB A 1 5 3 5 则 DE＝ AC＝ ，CE＝ AC＝ 3 P 2 2 2 2 ∵PA＝PB，∠APB＝60°，∴△ PAB是等边三角形 D ∴AB ＝AP，∠ BAP＝60°＝ ∠DAC，∴∠ DAB＝∠CAP E 又 AD＝AC，∴△ ADB≌△ACP ∴BD＝PC＝5 2 EA C B 在 Rt△