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高中数学立体几何解题如何添加辅助线 立体几何解题如何添加辅助线王佩其 有人说，解立体凡何题“得辅助线者得天下”。此话说得虽有点过头，但学会添加辅助线确 实是我们快捷解题的关键。那么，辅助线该如何添加呢这里我先介绍一段口诀：“有了中点配中 点，两点相连中位线：等腰三角形岀现，顶底中点相连线：有了垂面作垂线，水到渠成理当 然。”然后结合口诀分析几个例子，供同学们参考。 例1如图1,在二面角a-l-p中，A Bea,C. Del,ABCD是矩形，P郎,PA丄a,且PA = AD, M、依次是AB、PC的中点。 证明：MN是异面直线AB和PC的公垂线。 分析：要证明此题，必须添加适当的辅助线。根据题设条件中的N点是PC的中点，则可考虑 利用“有了中点配中点，两点相连中位线”的辅助线的做法。 证明：选取PD的中点Q,连接QX、QA,则QX是APDC的中位线，且QN = ；DC 因为ABCD是矩形，M是AB的中点，所以AM//DC,且AM^DC，所以QN[AM,所以四边形 AMNQ为平行四边形，所以AQ〃飯由當:口易证项丄平面「皿°。丄平面PAD,所以AB丄 AQ,所以AB丄MN,所以AQ±PDo又CD丄AQ,所以AQ丄平面PCD,即AQ丄平面p,所以AQ丄PC, 故而，MN丄PC,所以MN是异面直线AB和PC的公垂线。 例 2 如图 2,在三棱锥 A-BCD 中，若ZBAC= ZCAD= ZDAB=60° , AC=AD,求证：AB丄CD。 分析：题设条件中出现了 “AC=AD”，即AACD为等腰三角形，则可考虑利用“等腰三角形 出现，作底边的中点”来添加辅助线。 证明：取DC中点E,连接AE、BEo 则AE±CD易证△ BAC丝△BAD,所以BC=BD,所以BE丄CD,所以CD丄平面BAE,所以CD丄 ABo 例3如图3,底面是等腰直角三角形的直棱柱ABC-A]B|C|.ZACB=MaA=AG D是CJ的 中点。（1）求证：平面AB|D丄平面ABjB； （2）求二面角B-B】D-A的大小。 分析：（1）要证明平面ABQ丄平面ABjB,则应转化为线面垂直，即在其中一个平面内找 一条直线垂直于另一个平面。注意到题设中直棱柱的底面是等腰三角形，因而可考虑利用“等腰 三角形出现，作底边的中点”来添加适当的辅助线。（2）要求二面角的大小，应考虑作出二面角 的平面角，要作二面角的平面角，注意到（1）所证结果中岀现了两平面垂直，所以可考虑利用 “有了垂面作垂线，然后利用三垂线”的作辅助线的办法，作出其中一个平面的垂线以后.利用 三垂线定理来作二面角的平面角（本题请同学们结合图中已添加的辅助线自己完成，第2小题的 答案是二面角B-B.D-A的大小为arcsin —o ）