高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-6.docxVIP

【练 63】（ 2005 高考淅江东）如图 , 在三棱锥 P ABC 中 , AB BC , AB BC kPA, 点 O 、 D 分别是 AC 、 PC 的中点 , 1 时, 求直线 PA 与 OP 底面 ABC .(I) 求证 OD 底面 PAB ; (II) 当 k 平面 PBC 所成角的大小 ;(III) 当 k 取何值时 , O 在平面 2 PBC 的重心 ? PBC内的射影恰好为 【答案】方法一： AC 、 PC 的中点 . OD // PA A （Ｉ） Q Ｏ、Ｄ分别为 又 PA 平面 PAB . OD // 平面 PAB . (II) Q AB BC , OA OC OA OB OC , 又Q OP 平面 ABC PA PB PC . 取 BC 中点Ｅ，连结 PE , 则 BC 平面 POE . 作 OF PE 于 F, 连结 DF , 则 OF 平面 PBC , ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角 . ODF . 又 OD // PA, PA 与平面 PBC 所成角的大小等于 在 Rt ODF 中， sin ODF OF 210 OD 30 PA 与平面 PBC 所成的角为 arcsin 210 . 30 （III ）由 II 知， OF 平面 PBC ， F 是 O 在平面 PBC 内的射影 . D 是 PC 的中点，若点 F 是 VPBC 的重心，则 B 、 F 、 D 三点共线，直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD . Q OB PC PC BD PB BC ，即 K 1. 反之，当 K 1时，三棱锥 O PBC 为正三棱锥， O 在平面 PBC 内的射影为 PBC 的重心 . A 方法二 : x  P D C o B z P D o C Q OP 平面 ABC , OA OC , AB BC , B OA OB, OA OP,OB OP. y 以 O 为原点，射线 OP 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz ( 如图 ) ， 设 AB 2 a,0,0) , B(0, 2 C( 2 a,0,0) . 设 OP h , 则 P(0,0, h) a, 则 A( a,0) , Q D 2 2 2 1 2 (I) 为 PC 的 中 点 ， OD ＝ ( 2 ( h ) , OD ＝ a,0, h) ， 又 PA a,0, - 1 PA OD // PA OD // 平面 PAB . 4 2 2 2 1 7 a , uuur Q K 2 7a), (II) , 即 PA 2 , h PA = ( ,0, 2 2 2 2 可求得平面 PBC 的法向量 n (1, 1, 1 ), cos PA,n PAgn 210 . 7 PAg| n | 30 设 PA 与平面 PBC 所成的角为 , 则 sin | cos PA, n | 210 , PA 与平面 PBC 所成的角为 30 arcsin 210 30 (III) PBC的重心 G( 2 a, 2 a, 1 h), OG ( 2 a, 2 a, 1 h). 6 6 3 6 6 3 Q OG 平 面 PBC. uuur uuur uuur (0, 2 a, h), uuur uuur 1 a2 1 h2 0. OG PB. 又 PB OGgPB 2 6 3 1 h 2 a. PAOA2 h2 a, 即 k 1 反之，当 k 1 时，三棱椎 O PBC 为正三棱锥， 2 O 在平面 PBC 内的射影为 PBC 的重心 . 【易错点 64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错。 例 64 、（ 2003 年天津理 12）棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ） A、 a3 B 、 a3 C 、 a3 D 、 a3 3 4 6 12 【易错点分析】正确的分析图形，采用割补法。 解析：如图此八面体可以分割为两个正四棱锥，而 2 a 2 1 1 1 2a a2 2 a 3 ，故选 C。 AB 2 . V八面体 3 a 6 a 2 2 2 【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求。 【练 64】（2004 全国 20）如图四棱锥 P—ABCD中，底面 ABCD为 矩 形， AB=8，AD=4 3 ，侧面 PAD为 等边三角形，并且与底面成二面角 为 600 。求四棱锥 P— ABCD的体积。 解析：如图，去 AD 的中点 E，连结 PE，则 PE AD 。作 PO 平面 ABCD，垂足为 O，连结 OE。 根据三垂线