奥赛天天练(填三阶幻方)汇编.pdf

《奥赛天天练》第 25 讲《巧填幻方》。 概念： 如果一个 n ×n 矩阵（教材中表现为方格图）的每行，每列及两条对 角线的元素之和都相等，且这些元素都是从 1 到 n ×n 的自然数，这样的矩阵就 称为 n 阶幻方。有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年， 这是一类形式独 特的填数字问题。本讲主要介绍比较简单的三阶幻方的填写，三阶幻方就是 n=3 时的幻方。 三阶幻方的填法： 三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书” ，在北周 的甄弯注《数术记遗》一书中记有三阶幻方的填法： 九宫者，二四为肩，六八为 足，左七右三，戴九履一，五居中央。 三阶幻方的构造方法： 我国南宋时期杰出的数学家杨辉， 是最早系统研究幻 方的数学家。他曾将幻方命名为“纵横图” ( 三阶幻方也叫络书或九宫图 ) ， 并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明， 四阶以上幻方， 杨辉只画出图形而未 留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。杨辉在在《续古 摘奇算法》中，总结出了三阶幻方构造的方法： “九子斜排，上下对易，左右相 更，四维挺出。” 意思是：先把 l ～9 九个数依次斜排（如下图一），再把上 l 下 9 两数对调（如下图二），左 7 右 3 两数对调（如下图三），最后把四面的 2、 4 、6、8 向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。 1 9 9 4 2 4 2 4 2 4 9 2 7 5 3 3 5 7 3 5 7 3 5 7 8 6 8 6 8 6 8 1 6 9 1 1 图一 图二 图三 图四 三阶幻方的填法不是唯一的， 矩阵的第一行与第三行对调， 或第一列与第三 列对调，可以得出 4 种填法，将其中的任意一种填法旋转 90°，又可以得到另 外的 4 种填法。 例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀 中的填法。 三阶幻方的构造原理： 通常我们把幻方中每行 3 个数的和称为幻方的幻和， 幻方正中心的那个数叫做中心数， 中心数也就是这 9 个数的中位数。 从 1 到 9 这 9 个数的和为： 1+2+3+…8+9=45；则三阶幻方每行 3 个数字之和即幻和为： 45÷ 3=15。在 1 到 9 这 9 个数中，和为 15 的 3 个数，只能是： 9+5+1、9+4+2、8+6+ 1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每条对角线上 3 个 数只能是其中某个算式中的 3 个数。 仔细分析九宫格， 经过中心数的有一行、一列和两条对角线，即这个数必须 在 4 个不同的算式中出现， 在上面的算式中只有 5 符合要求。同理， 经过九宫格 四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线，即四个角上的数字必须同时在 3 个不同的算式中出现，只有 2、4 、6、8 符合要求。先填好中心数和四个