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二次函数恒成立问题 2016 年 8 月东莞莞美学校 一、恒成立问题的基本类型： 2 类型 1：设 ( ) ( 0) f x ax bx c a ， （1） f (x) 0在 x R上恒成立 a 0且 0 ； （2 ） f (x) 0在 x R 上恒成立 a 0且 0 。 类型 2 ：设 ( ) 2 ( 0) f x ax bx c a b b b （1）当 a 0 时， f (x) 0在x [ , ] 上恒成立 2a 或 2a 或 2a ， f ( ) 0 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f (x ) 0在 x [ , ] 上恒成立 f ( ) 0 f ( ) 0 （2 ）当 a 0 时， f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 f ( ) 0 b b b f (x ) 0在 x [ , ] 上恒成立 2a 或 2a 或 2a f ( ) 0 0 f ( ) 0 类型 3 ： f (x ) 对一切 x I恒成立 f (x) min f ( x) 对一切 x I恒成立 f ( x) max 。 类型 4 ： f (x ) g(x)对一切 x I恒成立 f (x)的图象在 g(x)的图象的上方或 f (x)min g (x)max (x I ) 二、恒成立问题常见的解题策略： 策略一：利用二次函数的判别式 对于一元二次函数 f (x) ax2 bx c 0( a 0, x R) 有： （1） f (x) 0在 x R上恒成立 a 0且 0 ； （2 ） f (x) 0在 x R 上恒成立 a 0且 0 2 例 1. 若不等式 (m 1)x ( m 1) x 2 0 的解集是 R，求 m的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0 。 （1）当 m-1=0 时，不等式化为 20 恒成立，满足题意； m 1 0 （2 ） m 1 0 时，只需 2 ，所以， m [1,9) 。