微分中值定理证明与应用分析报告.docx

.专业..专?注. .专业..专?注. .专业..专?注. .专业..专?注. 本科生毕业论文（设计） 题 目微分中值定理的证明与应用分析 姓 名 马华龙学号 2009145154 院 系电气与自动化学院 专 业测控与仪器技术 指导教师春玲职称 2012年5月20日 曲阜师大学教务处制 .专业.?专注. .专业.?专注. .专 .专业..专注. 摘要1 Abstractl 1引言1 2微分中值定理及其相关概念 错误!未定义书签。 3微分中值定理的证明方法2 3.1费马定理2 3.2罗尔定理3 3.3柯西中值定理5 4定理的推广5 5定理的应用6 5.1利用微分中值定理证明等式与恒等式6 5.2利用微分中值定理证明不等式7 5.3讨论根的存在性8 6总结9 致10 参考文献10 微分中值定理的证明与应用分析测控与仪器专业学生马华龙 指导教师 春玲 摘要：本文首先介绍了微分中值定理的基本容极其几何意义然后又分别介绍了三个微分中債定理， 最后有介绍了中值定理的推广和应用。详细介绍了中值定理在证明等式和不等式以及性态等方面的 应用。 关键词：微分中值定理 推广 应用 Differential Mean Va1ue Theorem Proof and Applicat ionAnalysis Student majoring in Measurement and control technology and instrumentMa Hua long Tutor Wei Chunling Abstract : This paper first introduces the basic content of the Differential Mean Value Theorem extremely geometric meaning, then introduced the three differential mean value theorem, and final ly introduced the promotion and appl ication of the mean value theorem. The detailed explained differential mean value theorem in proving the equality and inequality. KeyWords:differentia1 mean value theorem Promotion application. 1引言 在数学研究与分析中，微分学占有极其重要的地位，它是组成数学分析的重要部分。 而通过对微分学整体的学习，我们可以知道微分中值定理在它所有定理中是最基本的- 而且是最重要的定理之一，微分中值定理是构成微分学的主要组成部分。因此学好微分 中值定理，对我们以后的继续在数学方面的研究是非常重要的。 人们对微分中值定理的研究从微积分的建立之始就开始了，微分中值定理分为：罗 尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它出现的过程聚集了众多数学家的研 究成果。而且从费马引理到柯西中值定理使微积分不断发展，理论知识也不段的丰富和 完善，是自从引道微积分来数学研究的重要工具之一，并且中值定理的应用也越来越广 泛。本文将首先讨论微分中值定理的证明，然后讨论它的应用，并且主要是讨论微分中 值定理在证明等式、不等式、函数为常数、函数的性态等方面的应用。 2微分中值定理及其相关概念 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的容 是拉格朗日中值定理，可以说,其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或者推 广。也可以说微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理 在的定理的总称，而中值定理的证明会用到以下的概念。 lim f(x) lim g(x) ( _A .., 极限的局部保号性：若丄一心 ，则存在AN0,任意 (° △，［+△)， 使得 o 函数的单週性：函数/（X）在定义域，当叫＜勺时，有/（^）^/（x2），则称3 車 调递增。当S时，有朋）2/（丐），则称/（*）单调递减。 凹凸性：若函数曲线位于其每一点处切线的上方（下方），则称函数曲线时下凸（上 凸）的，或称函数向下凸（上凸）.而若 U）的一阶导数/⑴在（“』）上单调递増（或递 减），则称/⑴在（“0）是向上凹（下凹）的，或称函数曲线向上凹（下凹）. 最值：设/⑴在I上有定义，若存在使任意E ? /U0）＜/（x） （/（x0）＞/U））t则称/（J）为.f（x）的最小值（最大值）。工。为最小值点（最大值点）。 极值：设/（、）在任意工€/上有定义，若存在玉产/, △＞（）,任意^e（x（l-A.x0+A）都 有J