《两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）》示范公开课教学PPT课件.pptx

两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时整体感知 问题1　我们之前学习过诱导公式，它们的共同点是，等号左侧都是一个终边落在坐标轴上的特殊角与一个任意角的和或差，现在，我们希望将它们一般化，得到新的公式．你认为新公式应具备怎样的特点？新公式应该含有两个任意角的和或差．整体感知 问题2　之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式，你还记得当时我们证明诱导公式的思路和步骤吗？第一步，从“形”的角度出发，找到相互对称的两个角的终边关系；第二步，从“数”的角度考虑，写出单位圆上相互对称的的点的坐标；第三步，“数形”融合，将前两步的结果整合，得出结论．新知探究 问题3　先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式，下面我们继续借助单位圆，采用同样的思路研究含有两个任意角α，β的三角恒等变形公式．首先，我们考虑两个任意角终边不重合时的情形．在平面直角坐标系中，如果已知任意角α，β的正弦、余弦，那么cos（α＋β）与它们有什么关系呢？新知探究 追问1　首先我们从“形”的角度出发，你认为该问题中涉及到的基本角有哪些？请你将它们连同单位圆一起画在坐标系中，将重要的点标注出来，并观察图形，你能发现哪些可能有用的等量关系?基本角为α，β，重要的点包括三个角的终边与单位圆的交点（依次记为P1，A1，P），始边与单位圆的交点A ．可能有用的等量关系是P1A1＝PA．新知探究 追问2　你能证明这个等量关系吗？可以借助圆的旋转对称性证明 A1P1＝AP ，进而得到A1P1＝AP；可以借助圆的旋转对称性证明三角形OAP与三角形OA1P1全等，进而得到AP＝A1P1；或者直接利用圆的旋转对称性证明线段A1P1端点在旋转后分别与A，P重合，从而AP＝A1P1．新知探究 追问3　接下来，我们从“数”的角度考虑，你能写出刚刚得到的几何等量关系式中出现过的点的坐标吗？P1（cosα，sinα），A1 （cosβ，sinβ），P （cos（α－β），sin（α－β）），A（1，0） ．新知探究 追问4　已知平面直角坐标系任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则点P1，P2 之间的距离 ．请你借助以上“两点间的距离公式”，融合以上“形”与“数”的探究，你能得到什么结论？根据两点间距离公式，结合A1P1＝AP，有整理得 ．新知探究 问题4　如果两个任意角终边重合，上述结论成立吗？当α，β终边重合时，cos α＝cos β，sin α＝sin β ．此时等式（*）左侧＝cos2kπ＝1，右侧＝sin2α＋cos2α＝1，两侧的值相等，因此上述结论仍然成立．新知探究 差角的余弦公式简记作新知探究 例1　证明：（1） ；（2） ；（3） ； （4） ．证明：（1）将公式 中的α，β分别替换为π，x，得（2）将公式 中的α，β分别替换为 ，x，得新知探究 例1　证明：（1） ；（2） ；（3） ； （4） ．证明：（3）将公式 中的α，β分别替换为0，x，得（4）将公式 中的α，β分别替换为 π，－x，得新知探究 问题5　结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试．从区别与联系两个方面解读二者的关系：二者的区别是：第一，适用场合不同，二者涉及到的任意角的数量不同，因此适用的场合并不一样，诱导公式适用于关于一个特殊角与一个任意角代数和的恒等变换问题，新知探究 问题5　结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试．差角余弦公式适用于关于两个任意角的差角的余弦值的恒等变换问题，第二，功能不同，诱导公式可以实现改变函数名称，将求任意角的三角函值转化为求锐角三角函数值的问题等功能，这些功能是 不具备的．新知探究 问题5　结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试．二者的联系是：第一，差角余弦公式中含有两个任意角，将其中一个替换为特殊角，即可推导出部分诱导公式，但公式 具备求出两个任意角的差角的余弦值的功能，这是诱导公式不能完成的，新知探究 问题5　结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式之间的关系吗？试一试．因此 是更上位的公式；第二，二者均为三角恒等变换的重要变形依据，它们均可以经由圆的对称性质推导得到．新知探究 例2　借助公式 ，解答以下题目：（1）计算cos