极坐标和参数方程知识点总结大全.pdf

极坐标与参数方程 一、参数方程 1. 参数方程的概念 一般地 , 在平面 直角坐标系 中, 如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的 x f (t ) 函数，即 y f (t ) 并且对于 每一个允许值，由方程组所确定的点 （ ， ）都在这条曲线上（即曲线上 t M x y 的点在方程上，方程的解都在曲线上） ，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 . 2. 参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 , 一般地可以 通过消去参 数而从参数方程得到普通方程 . 练习 x 1 2t 1．若直线的参数方程为 (t为参数 ) ，则直线的斜率为（ ） y 2 3t 2 2 3 3 A． B ． C ． D ． 3 3 2 2 x sin 2 2．下列在曲线 ( 为参数 ) 上的点是（ ） y cos sin 1 3 1 A． ( , 2) B ． ( , ) C ． (2, 3) D ． (1, 3) 2 4 2 2 x 2 sin 3．将参数方程 2 ( 为参数 ) 化为普通方程为（ ） y sin A． y x 2 B ． y x 2 C ． y x 2(2 x 3) D ． y x 2(0 y 1) 注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（ 1、3 可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数 不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数方程 如图所示， 设圆的半径为， 点从初始位置出发， 按逆时针方向在圆上作匀速 圆周运动，设，则。 这就是圆心在原点， 半径为的圆的参数方程， 其中的几何意义是转过的角度 （称为旋转角）。 圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为：。 4 ．椭圆的参数方程 以坐标原点为中心， 焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为， 其中参 数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为 离心 角 ，通常规定参数的范围为∈ [0 ，2 ）。 注：椭圆的参数方程中， 参数的几何意义为椭圆上任一点的 离心角 ，要把它 和这一点的 旋转角 区分开来，除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外