极坐标与全参数方程讲义(教师版).pdf

实用文档 极坐标与参数方程 一、极坐标知识点 1. 极坐标系的概念 (1) 极坐标系 如图所示 , 在平面内取一个定点 O , 叫做极点 , 自极点 O 引一条射 线 Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位 , 一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆 时针方向 ), 这样就建立了一个极坐标系 . 注 : 极坐标系以角这一平面图形为几何背景 , 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴 为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 , 而极坐标系则不可 . 但极 坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 . (2) 极坐标 设 M是平面内一点 , 极点 O 与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为 ; 以极轴 Ox 为始 边 , 射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M的极角 , 记为 . 有序数对 ( , ) 叫做点 M的极坐 标, 记作 M ( , ) . 一般地 , 不作特殊说明时 , 我们认为 0, 可取任意实数 . 特别地 , 当点 M 在极点时 , 它的极坐标为 (0, )( ∈R). 和直角坐标不同 , 平面内一个 点的极坐标有无数种表示 . 如果规定 0,0 2 , 那么除极点外 , 平面内的点可用唯一的极坐标 ( , ) 表示 ; 同时 , 极坐标 ( , ) 表示的点也是唯一确定的 . 2. 极坐标和直角坐标的互化 (1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 , 并在两种坐标系 中取相同的长度单位 , 如图所示 : 标准文案 实用文档 (2) 互 化 公 式 : 设 M 是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 , 它 的 直 角 坐 标 是 (x , y ) , 极 坐 标 是 ( , ) ( 0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表 : 点 M 直角坐标 (x , y) 极坐标 ( , ) 2 2 2 x y x cos 互化公式 y y sin tan (x 0) x 在一般情况下 , 由 tan 确定角时 , 可根据点 M 所在的象限最小正角 . 3. 常见圆与直线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点 , 半径 r (0 2 ) 为 r 的圆 圆心为 (r ,0) , 半径