空气污染研究的主成分分析.pdf

精心整理 空气污染研究的主成分分析 一、提出问题 本文对于给定的某城市 42 天中午 12 点的空气污染数据进行主成分分析， 主要解决以下几个问 题： （1） 分别用样本协方差矩阵和样本相关矩阵作主成分分析，对比二者的结果差异； （2 ） 对原始数据的变化选取三个或者更少的主成分反映，并对所选的主成分做出解释。 二、分析问题 主成分分析旨在利用降维的思想， 把多指标转化为少数几个综合指标。 在实际问题研究中， 为 了系统、全面地分析问题， 我们必须考虑众多影响因素。 因为每个因素都在不同程度上反映了所研 究问题的某些信息， 并且指标之间有一定的相关性， 因而所得到的统计数据反映的信息在一定程度 上有重叠。 本文中所研究的问题变量较多， 因此利用主成分分析法研究本问题， 减少计算量和降低 分析问题的复杂性。 针对问题一， 首先将数据标准化， 计算样本协方差矩阵和相关矩阵， 然后分别计算样本协方差 矩阵和相关矩阵的特征值和特征向量， 贡献率和累计贡献率， 确定选取成分个数， 列出主成分方程 并解释主成分意义。 针对问题二，考虑主成分的贡献率，只要主成分的累计贡献率达到 80%，就可以反映原始数 据的变化，并且对所选取的主成分做出解释。 三、模型假设 1、影响污染程度的变量只有本文中所提到的变量； 2、随机选取的 42 天； 3、题目中所提到的城市是平衡发展，政府对环境治理干预较小，即此城市的环境不会出现强烈波 动； 4 、题目中所给的污染浓度及气象参数有效，数据都准确可靠，同时不考虑人为因素、检测仪器精 确度不同等影响。 四、符号说明 符号 符号含义 样本方差 原始变量 样本主成分 样本协方差 精心整理 样本相关矩阵 样本平均值 协方差矩阵 特征向量矩阵 矩阵的特征值 矩阵的特征向量 信息提取率 五、问题求解 5.1 协方差矩阵主成分分析 设 是 x (x , x ,x , ,x )T 的协方差矩阵， 的特征值与正交化特征向量分别为 1 2 3 p 0 及 e ,e ,e , ,e ，且 x 的第 i 个主成分为 1 2 3 p 1 2 3 p Y e x e x e x e