空间中的垂直和平行的证明方法.pdf

2. 平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 . 公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 . 公理 3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 . 根据上面的公理，可得以下推论 . 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 . 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 . 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 . 4. 空间线面的位置关系 共面 平行—没有公共点 (1) 直线与直线 相交—有且只有一个公共点 异面 ( 既不平行，又不相交 ) 直线在平面内—有无数个公共点 (2) 直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点 ( 直线在平面外 ) 相交—有且只有一公共点 (3) 平面与平面 相交—有一条公共直线 ( 无数个公共点 ) 平行—没有公共点 5. 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法 . 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线” . 6. 线面平行与垂直的判定 (1) 两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行 . ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若 a ∥ α,a β， α ∩β=b, 则 a ∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若 a ∥b,b ∥c, 则 a ∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若 a ⊥ α， b⊥ α，则 a ∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若 α∥ β, α∩ γ, β ∩ γ=b, 则 a ∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若 α∩β=b,a ∥ α,a ∥β，则 a∥b. (2) 两直线垂直的判定 ①定义：若两直线成 90°角，则这两直线互相垂直 . ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直 . 即若 b∥c,a ⊥b, 则 a ⊥c ③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线 . 即若 a ⊥ α,b α，a ⊥b. ④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 . ⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直 . 即若 a∥ α,b ⊥ α, 则 a ⊥b. ⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若 α⊥ β, β⊥ γ， γ⊥ α, 且 α∩β=a, β∩ γ=b, γ∩ α=c，则 a ⊥b,b ⊥c,c ⊥a. (3) 直线与平面平行的判定 ①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行 . ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行 . 即若 a α,b α，a∥b, 则 a ∥ α. ③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若 α∥β,l α，则 l ∥ β. ④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行 . 即若 α⊥ β,l ⊥ β， l α，则 l ∥ α. ⑤在一个平面同侧的两个点， 如果它们与这个平面的距