3.1.5空间向量运算的坐标表示.pptVIP

一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用来 I , j , k 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点，分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。 二、向量的直角坐标系 =( 1 , 2, 3) 给定一个空间坐标系和向量 ,且设i、j、k为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组( 1, 2, 3)使 = 1i+ 2j+ 3k 有序数组( 1, 2, 3)叫做 在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作. x y z O A(x,y,z) i j k 一、向量的直角坐标运算 二、距离与夹角 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。 在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、 　　　　，则 （2）空间两点间的距离公式 2.两个向量夹角公式 注意： 　（1）当　　　　　　 时，　　　同向； 　（2）当　　　　　　 时，　　　反向； 　（3）当　　　　　　 时，　　　。 练习一： 1.求下列两个向量的夹角的余弦： 2.求下列两点间的距离： 三、应用举例 例1　已知　　　　、　　　　，求： 　（1）线段　　的中点坐标和长度；　 解：设　　　　　是　　的中点，则 ∴点　的坐标是　　　　　.　 例2　如图，在正方体　　　　　　　中，　　　 　　　　　，求　　与　　所成的角的余弦值。　　 解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系　　　　，则　　　　 例2　如图，在正方体　　　　　　　中，　　　 　　　　　，求　　与　　所成的角的余弦值。　　 练习二：