1.1变化率与导数.ppt

新教材选修《数学1-1》第三章 导数及其应用 变化率与导数(1) ------平均变化率问题 问题一： 气球膨胀率 1. 大家回忆一下吹气球的过程，可以发 现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径 增加得越来越慢. 从数学的角度,如何描述这 种现象呢? 2. 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少? 气球的平均膨胀率 问题二: 高台跳水问题 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s)存在函 数的关系: h(t)=-4.9t2+6.5t+10 如果我们用运动员在某段时间内的平均 速度 描述其运动状态, 那么: 计算在0≤t≤0.5 时的平均速度; 计算在1≤t≤2时的平均速度. 若上述两个问题中的函数关系用f(x)表示, 则问题中的变化率怎样表示? 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 x2-x1 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 用△x表示x2-x1 即 △x=x2-x1 所以可用x1+ △x代替x2 类似地, △f=f(x2)-f(x1) 故平均变化率可表示为: 思考 观察函数f(x)图象 平均变化率表示什么? 0 x y f(x1) f(x2) x1 x2 y=f(x) f(x2)-f(x1) 探究? 计算运动员在0≤t≤ 这段时间 里的平均速度,并思考下面的问题: (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? 你认为用平均速度描述运动员的运动状态 有问题吗? h(t)=-4.9t2+6.5t+10 小 结 1.函数的平均变化率: 式子 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 (习惯记作 ) 2.函数的平均变化率的几何意义: x2-x1 0 x y f(x1) f(x2) x1 x2 y=f(x) f(x2)-f(x1) 割线的斜率 变化率与导数(2) ------导数的概念 温 故 而 知 新 1.函数的平均变化率: 式子 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 (习惯记作 ) 2.函数的平均变化率的几何意义: x2-x1 0 x y f(x1) f(x2) x1 x2 y=f(x) f(x2)-f(x1) 割线的斜率 问题二: 高台跳水问题 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s)存在函数的关系: h(t)=-4.9t2+6.5t+10 如果我们用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么: (1) 计算区间[2-△t, 2]和[2, 2+△t]内的平均速度. (2) 当△t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 探究: 运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示? 函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示? 一. 导数的概念: 一般地,函数y=f(x)在x=X0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数y=f(x)在x=X0 处的导数 记作: 即: 1. 导数的概念: 例题1. 将原油精炼为汽, 柴油, 塑胶等各种不 同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第x h时,原油的温度(单位: 0C)为f(x)=x2-7x+15 (0≤x≤8). 计算第2h时和第6h时,原油温度的 瞬时变化率, 并说明它们的意义. 练习: P7 小结:求函数y=f(x)在x=X0 处的导数的一般步骤: (1) 求函数的增量,即△f; (2) 求平均变化率,即 (3) 求导数,即 2. 导数的物理意义: 在物体的运动规律中,如果s=s(t),那么物体的 瞬时速度为 加速度为 练习: (1) 在物体自由落体的运动方程s= 中, 在t=3时的瞬时速度v=_________. (2) 质点M按规律v=3+4t做直线运动,则质点的加 速度a=______. 小 结 1.导数的概念: 2.导数的物理意义: 在物体的运动规律中,如果s=s(t),那么物体的 瞬时速度为