垂径定理及其推论.doc

部分知识点总结 时间：2021.02.07 命题人：欧阳物 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另 —条弧。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为： 过单心 、 垂*于弦 》 直径b分弦 丿知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 弧、弦、弦心距、圆心角之间的尖系定理 1 :在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所 对的弦的弦心距相等。 2:在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦 的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相 等。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1 :同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周 角所对的弧也相等。 欧阳物创编 推论2 :半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦 是直径。 推论3 :如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形 是直角三角形。 点和圆的位置尖系 设G)O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dvro点P在o O内； d二ro点P在oO上; dro点P在oO外。 过三点的圆 1、 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做 这个三角形的外心。 直线与圆的位置尖系 直线和圆有三种位置尖系，具体如下： (1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫 做圆的割线，公共点叫做交点； (2 )相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫 做圆的切线， (3 )相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果O0的半径为r，圆心O到直线L的距离为d那么：直线L与oO 相交odvr; 直线￡与00相切od = r; 直线￡与OO相离odr; 欧阳物创编 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对 R于半径的直线切线的性质与判定定理 R 于半径的直线 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直 是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2 :过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条 件就能推出最后一个。 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这 点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 A即：- PA、PB是两条切线 A 「?PA = PB ； PO 平分 ZBPA 圆帚定理 1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在OO中，???弦AB、CD相交于点P 「?PA PB = PC?PD 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两 条线段的比例中项。 欧阳物创编 欧阳物创编 即：在G)O中，I?直径A3丄CD 1 「?CE? =AEBE 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项。 即：在O。中，???〃是切线，PB是割线 .*■ PA2 = PC ? PB 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点 右每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如 图)。 右 即：在O0中，??? PB、PE是割线 「?PC PB = PD PE 两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：QQ垂直平分° 即：T O q、O o?相交于 B两点 ? ? 002垂直平分AB 圆的公切线 (1 )公切线的长：恥OQC 中 * AB2 = CO； = ^Ofi22 - CO,2 ； (2 )外公切线的长：CQ是半径之差；CQ是半径之和 三角形的内切圆和外接圆 1、 三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的 欧阳物创编 交点，它叫做三角形的内心。 圆和圆的位置尖系 1、 圆和圆的位置尖系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含 两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和 内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、 圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、 圆和圆位置尖系的性质与判定 设两圆的半径分别为R