容斥原理_教师版.讲义.pdf

7-7 容斥原理 教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 知识精讲 知识点说明 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地 把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个 数，用式子可表示成： A B A B A B (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号 “ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理， 简称容斥原理． 图示如下 : A 表示 小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积．图示如下 : A 表 示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A B ，即阴影面积． 1．先包含—— A B 重叠部分 A B 计算了 2 次，多加了 1次； A B A B 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B 的并集 A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 1 A B 第一步：分别计算集合 A、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A B (意思是把 A、B 的一切元素都“包含” 进来，加在一起 ) ； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C A B (意思是“排除”了重复计算的元素个数 )． 二、三量重叠问题 2010 年·暑假 .三年级 . 第 3 讲 . 重叠问题 教师版 page 1 of 18 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类 的元素个数．用符号表示为： A B C A B C A B B C A C A B C ．图示如下： 图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数， C 1 ．先包含： A B C 重叠部分 A B 、B C 、C A 重叠了 2 次，多加了 1次． 2 ．再排除： A B C A B B C A C A B C 3 A B C 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图 (韦恩图 )来帮助分析思考． A B B C A C 例题精讲 A B C A B B C A C A B C 板块一、两量重叠问题 【例 1】 两张长 4 厘米，宽 2 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少 平方厘米？