[第11讲]数论的灵魂（整除问题）作业.docVIP

2 - 五年级· 五年级·10级下·基础班·教师版 数论的灵魂(整除问题) 一、数的整除之四大判断法： 1．2系列： 被2整除只需看末位能否被2整除； 被4整除只需看末两位能否被4整除； 被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推； 以四位数为例，四位数=1000×a+100×b+10c+d。10、100、1000都是2的倍数，只需d也是2的倍数即可。 2．3系列： 被3整除只需看各位数字之和能否被3整除； 被9整除只需看各位数字之和能否被9整除； 以3为例，=1000×a+100×b+10c+d =999a+99b+9c+a+b+c+d。999、99、9均为3的倍数。只需要a+b+c+d是3的倍数即可。 从中我们还发现，数字之和除以3余几，则原数除以3余几。9依次类推。 3．5系列： 被5整除只需看末位是否为0或5 被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75． 被125整除的特征依次类推看末三位。 4．7、11、13系列： 通用 ⑴一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除。比如201201=201×1001，则其必然能被7、11、13整除； ⑵从末三位开始，三位一段，奇数数之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数； ⑶末三位一段，前面均为一段，用较大的减去较小的，如果为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数； 合数的整除特征： 判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。 二、数的整除的性质： ⑴传递性:若，，则； ⑵可加性:若，，则。 三、试除法：在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小(一般为最大)。当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数。 四、数的整除的代数表示方法：对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决．这些常用的形式有： ； 1．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数． ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？ 2．⑴从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？ ⑵从1～3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？ 3．(第2届华杯赛初赛第14题)用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？ 4．右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。比如a=5×10=50，b=5×12=60。那么c方格内所填的自然数的末尾有___个连续的0。 5．右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数的末尾共有多少个？ 6．(2008年数学解题能力展示初赛试题)已知九位数既是的倍数，又是的倍数；那么，这个九位数是多少？ 7．试证明的差一定是 (如：为原序数，那么它对应的反序数为，它们的差是的倍数.) 8．如图，把1～9这9个数字放在一个圆圈上。请在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(比如在7和8之间剪开，就形成了826543197和791345628这两个九位数)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么可以从哪两个数字之间剪开？ 9．对怎样的最小值n，数被整除？ 10．一个19位数能被13整除，求О内的数字． 11．(第7届希望杯培训试题)在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？ 12．(2009年迎春杯五年级初赛第8题) 将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是 。 13．(2009年学而思五升六竞赛班选拔考试第20题)把数字1到9各使用一次，组成一个被555667整除的9位数，这个9位数是 。 14．如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍．那么，这个五位数的前两位的最大值是 。 15．已知能被22整除，B-A的最大值为 . 16．(2010年“数学解题能力展示”五年级初赛)已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积(即)，那么这个五位回文数最大的可能值是_____. 17．已知：．则 。  18．(2009年迎春杯高年级复赛试题第15题) 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，?31。如果有两位同学的编号的乘积是它们编号和的倍数，则称这两位同学是