数的整除性讲解(一)(通用).pdf

第 4 讲 数的整除性（一） 我们在三年级已经学习了能被 2，3，5 整除的数的特征，这一讲我们将 讨论整除的性质，并讲解能被 4，8，9 整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数 整除。例如， 48 能被 16 整除， 16 能被 8 整除，那么 48 一定能被 8 整除。 性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除， 那么这两个数的和与差也一定能 被这个自然数整除。例如， 21 与 15 都能被 3 整除，那么 21＋15 及 21-15 都 能被 3 整除。 性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除， 那么这个数一定能被这 两个互质的自然数的乘积整除。例如， 126 能被 9 整除，又能被 7 整除，且 9 与 7 互质，那么 126 能被 9 ×7＝63 整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了 进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列 出来： （1）一个数的个位数字如果是 0，2，4 ，6，8 中的一个，那么这个数就 能被 2 整除。 （2 ）一个数的个位数字如果是 0 或 5，那么这个数就能被 5 整除。 （3 ）一个数各个数位上的数字之和如果能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。 （4 ）一个数的末两位数如果能被 4 （或25）整除，那么这个数就能被 4 （或25）整除。 （5 ）一个数的末三位数如果能被 8 （或125）整除，那么这个数就能被 8 （或125）整除。 （6 ）一个数各个数位上的数字之和如果能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。 其中（ 1）（2 ）（3 ）是三年级学过的内容，（ 4）（5 ）（6 ）是本讲要 学习的内容。 因为 100 能被 4 （或25）整除，所以由整除的性质 1 知，整百的数都能 被 4 （或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两 位数之和，所以由整除的性质 2 知，只要这个数的后两位数能被 4 （或25） 整除，这个数就能被 4 （或25）整除。这就证明了（ 4 ）。 类似地可以证明（ 5 ）。 （6 ）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8 ×100＋3 ×10＋7 ＝8 ×（99＋1）＋3 ×（9＋1）＋7 ＝8 ×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8 ×99＋3 ×9 ）＋（8＋3＋7 ）。 因为 99 和 9 都能被 9 整除，所以根据整除的性质 1 和性质 2 知， （8x99 ＋3x9 ）能被 9 整除。再根据整除的性质 2，由（ 8＋3＋7 ）能被 9 整除，就 能判断 837 能被 9 整除。 利用（ 4）（5 ）（6 ）还可以求出一个数除以 4，8，9 的余数： （4 ＇）一个数除以 4 的余数，与它的末两位除以 4 的余数相同。 （5 ＇）一个数除以 8 的余数，与它的末三位除以 8 的余数相同。 （6 ＇）一个数除以 9 的余数，与它的各位数字之和除以 9 的余数相同。 例