《医科高等数学》教学课件 4.5.pptVIP

第五节 多元函数的极值 二、条件极值 一、二元函数的极值及其判别法 一、二元函数的极值及其判别法 定义4-6 设函数 在点 的某邻域内有定义，对于该邻域内异于 的点 都满足不等式 极大值、极小值统称为极值;使函数取得极值的点称为极值点. 则称函数 在点 有极小值(极大值); . 为函数 极小值点(极大值点). 例 例 例 从以上例子看出:假设函数在某点取得极值,这点的偏导数等于零或不存在.下面介绍极值存在的必要条件与充分条件. 定理4-6（必要条件)设函数 在点 取得极值,且在该点处两个一阶偏导数都存在,则必有 证明: 不妨设 在点 处有极大值 则对于的 某邻域内任意 都有 类似地可证 . 必有 说明一元函数 在 处有极大值 故当 ， 时， 与一元函数相同，我们称一阶偏导数都等于零的点为函数的驻点. 如何判定一个驻点是否为极值点呢? 定理4-7（充分条件） 设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又 ， . (2)极值点也可能不是驻点.因为偏导数不存在的点也可能是极值点，如锥面 在顶点 处偏导数不存在，但顶点是极值点. 注意: (1)驻点不一定是极值点.例如, 点是函数 的驻点,但不是极值点. 令 则有 （1）当 时,函数 在点 处具有极值,且当 时有极大值, 时有极小值； （3）当 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论. （2）当 时函数 在点 没有极值； 由此可得求二元可微函数 极值的一般步骤： 第一步 求函数 的一阶和二阶偏导数; 第二步 解方程组 ,可求得所有驻点; 对每个驻点,求出相应的二阶偏导数 A、B、C 的值,利用定理4-7判别各驻点是否是极值点,是极大值点还是极小值点; 第三步 第四步 求出各极值点的函数值 例4-29 求函数 的极值. 解 求方程组 得驻点 . 又 在点 处, 且 故 是极小值点,极小值为 . 在点 处, 且 故 是极小值点,极小值为 . 在点 处, 充分条件失效.但当 时, 当 时, 由此可见,在 不论多么小的领域内,总有使 和 的点,因此, 不是函数的极值点. 求最值的一般方法： 〔1〕求函数在D内的所有驻点和偏导数不存在的点； 〔1〕求出函数在D内的所有驻点和偏导数不存在点处的函数值； 〔2〕求D的边界上的最大值和最小值； 〔3〕相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 二元函数的最值 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略. 例4- 30 某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种产品的广告,根据统计资料,销售收入 (万元)与广告费用 (万元)及报纸广告费用 (万元)之间的关系式有如下的经验公式: 解: 利润函数为 解方程组 得唯一驻点 又 在驻点处 ,且 故 是极大值点.又因为它是 时唯