《医用高等数学》（第二版）幻灯片 6-6二重积分.pptVIP

第六节 二重积分;一、二重积分的概念;曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是 xOy 面上的闭区域 D，侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，顶是由二元连续函数 z=f(x,y) 所表示的曲面，并假设 f(x,y)?0。这种立体叫做曲顶柱体，现在来讨论如何定义并计算上述曲顶柱体的体积。;y;〔1〕分割：将区域 D 任意分成 n 个小闭区域 ??1, ??2,…,??n，分别以这些小闭区域 ??i 的边界曲线为准线，作母线平行于 z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为 n 个小曲顶柱体，它们的体积分别记为 ?V1,?V2,…,?Vn。;〔2〕近似替代：当这些小闭区域的直径〔指区域上任意两点间距离的最大值〕很小时，由于 f(x,y) 连续，对同一个小闭区域来说，f(x,y) 变化很小，这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体。在每个小闭区域 ??i〔这小闭区域的面积也记作 ??i〕中任取一点 (?i,?i)，把以 f(?i,?i) 为高而底为 ??i 的平顶柱体的体积 f(?i,?i)??i 近似替代 ??i 上小曲顶柱体的体积 ?Vi，即;〔3〕求和：把这 n 个小平顶柱体体积相加，便得到整个曲顶柱体体积 V 的近似值，即;〔4〕取极限：令 n 个小闭区域直径中的最大值〔记作 ?〕趋于零，上述和式极限就是所求曲顶柱体的体积 V，即;平面非均匀薄片的质量 设有一平面薄片在 xOy 面上占有闭区域 D，它在点 (x,y) 处的面密度为 ?(x,y)，这里 ?(x,y)?0 且在 D 上连续。现在要计算该薄片的质量 M。;x;〔1〕分割：将区域 D 任意分成 n 个小闭区域 ??1, ??2,…,??n，这些小薄片的质量分别记为 ?m1,?m2,…,?mn。;〔2〕近似替代：当这些小闭区域的直径〔指区域上任意两点间距离的最大值〕很小时，由于 ?(x,y) 连续，对同一个小闭区域来说，?(x,y) 变化很小，这些小区域可近似地看作均匀薄片。在每个小闭区域 ??i〔这小闭区域的面积也记作 ??i〕中任取一点 (?i,?i)，把 (?i,?i) 处的面密度 ?(?i,?i) 作为整个小闭区域内面密度的近似值，那么每一小薄片质量的近似值为 ;〔3〕求和：把这 n 个小薄片质量的近似值相加，便得到薄片质量 M 的近似值，即;〔4〕取极限：令 n 个小闭区域直径中的最大值〔记作 ?〕趋于零，上述和式极限就是所求薄片的质量 M，即;高等数学 06-06-15;高等数学 06-06-16;高等数学 06-06-17;高等数学 06-06-18;y;性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号外面，即;性质2 两个〔或有限个〕函数代数和的二重积分等于各函数的二重积分的代数和，即;性质3 如将闭区域 D 分成两个子闭区域 D1、D2，那么;性质4 闭区域 D 的面积 ?，等于在该区域上被积函数为1的二重积分，即;性质5 假设在闭区域 D 上， f(x,y)?g(x,y)，那么;性质6 设 M、m 分别是二元函数 f(x,y) 在闭区域 D 上的最大值与最小值，? 是闭区域 D 的面积，那么;性质7〔积分中值定理〕 设二元函数 f(x,y) 在闭区域 D 上连续，闭区域 D 的面积为 ?，那么在闭区域 D 上至少存在一点 (?,?)，成立;三、二重积分的计算;利用直角坐标计算二重积分;高等数学 06-06-29;高等数学 06-06-30;D;D;D;后积变