《医用高等数学》（第二版）幻灯片 7-4随机变量的数字特征.pptVIP

第四节 随机变量的数字特征;随机变量的数字特征 表示随机变量分布特征的数量指标，称为随机变量的数字特征。;常用的数字特征有二类：;一、数学期望及其性质;例 一批钢筋共有10 根，抗拉强度指标为120和130的各2根，125的有3根，110，135，140的各1根，求它们的平均抗拉强度。;离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量 X 的概率函数为;例 甲、乙两位外科医生，各自对10名心脏病患者进行手术治疗。假定这两组病人的年龄、病情等根本相同，用 X，Y 分别表示他们的手术成功例数，???概率函数如下表，试比较两位医生技术水平的上下。;X;课堂讨论题 设 X 的分布列为：;例〔最正确普查方案〕 在共有 N 个人的人群中，普查某种疾病，假设逐个验血就需作 N 次检验，现问能否用概率的思想方法来减少检验的工作量？ ;连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 p(x)，如果积分 绝对收敛，则称该积分值为连续型随机变量 X 的数学期望。记为 EX，即;例 设随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布，其概率密度函数为;数学期望的性质：;〔3〕设 X 为一随机变量，a 和 b 为常数，那么 E(aX+b)=aE(X)+b;〔4〕两个随机变量的和的数学期望，等于它们各自数学期望之和，即 E(X+Y)=EX+EY;〔5〕假设随机变量 X 与 Y 独立，那么 E(XY)=EX?EY;例 设 X 的分布列为：;课堂讨论题 民航用的大客车从机场载了20名旅客，沿途停靠10站，每名旅客到哪个站下车的时机都是均等的；且每名旅客到哪站下车都是独立的〔即单身〕。假设某站无人下车，那么大客车就不停，现 X 以表示大客车停车的次数，求 EX。;例 为考察两个售货员的效劳水平，让每人每次从盒中抓取某种中药10g，各取5次进行称重，结果如下表，试比较他们技术水平的上下。;方差(variance) 设 X 为一随机变量，假设 E(X?EX)2 存在，那么称它为随机变量 X 的方差，记作 V(X)，即 V(X)=E(X?EX)2;高等数学 07-04-21;对离散型随机变量 X;计算方差的常用计算公式 V(X)=E(X2)?(EX)2;例 在相同的条件下，用两种不同的方法测定某一药品有效成份的含量，测定结果用 X，Y 表示，由以往大量的测定结果获知 X，Y 的分布列如下表，试比较哪一种测定方法的精密度较好。;高等数学 07-04-25;高等数学 07-04-26;高等数学 07-04-27;方差的性质：;〔3〕设 X 为一随机变量，a 和 b 为常数，那么 V(aX+b)=a2V(X);〔4〕设 X，Y 是任意两个相互独立的随机变量，那么 V(X+Y)=V(X)+V(Y);课堂讨论题〔一个重要的结论〕 假设 X1,X2,…,Xn 独立同分布，且 EXi=a，V(Xi)=b，(i=1,2,…n)，又; 设 X 服从参数为 p 的两点分布，求 EX 和 V(X)，其中 q=1?p。; 设 X~B(n,p)，求 EX 和 V(X)，其中 q=1?p。; 设 X~P(?)，求 EX 和 V(X)。; 设 X~U[a,b]，求 EX 和 V(X)。; 设 X~E(?)，求 EX 和 V(X)。; 设 X~N(?,? 2)，求 EX 和 V(X)。;例 设随机变量 X~B(n,p)，且 EX=8，V(X)=4.8，求： 〔1〕n,p； 〔2〕E(2X?1)； 〔3〕V(2X?1) ； 〔4〕E[2(X2?1