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竖直平面内的圆周运动问题 [ 导学探究 ] 如图所示，过山车的质量为 m，轨道半径为 r ， (1) 过山车能通过轨道最高点时什么力提供向心力？ (2) 过山车通过最高点时的临界速度是多少？ (3) 当过山车通过轨道最高点的速度大于临界速度时， 过山车对轨道的 压力怎样计算？ [ 例 1] .质量 m＝1 000 kg 的汽车通过圆弧形拱形桥时的速率恒定， 拱形桥的半径 R＝10 m 。(重 力加速度 g 取 10 m/s2 )试求： (1)汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时汽车的速度； (2)汽车在最高点对拱形桥的压力为零时汽车的速率。 解析 (1)汽车在最高点的受力如图所示： 2 v 有 mg－FN ＝m R 1 当 FN ＝ mg 时，汽车速度 2 gR 10×10 v ＝ ＝ m/s ＝5 2 m/s。 2 2 2 v (2)汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，有 mg＝m R 解得 v ＝ gR ＝ 10×10 m/s＝10 m/s 。 答案 (1)5 2 m/s (2)10 m/s [ 例 2] .杂技演员表演“水流星”，在长为 1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为 m ＝0.5 kg 的盛水容器， 以绳的另一端为圆心， 在竖直平面内做圆周运动， 如图 6 所示，若“水 流星”通过最高点时的速率为 4 m/s，则下列说法正确的是 (g＝ 10 m/s2)( ) A. “水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B. “水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C. “水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D. “水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为 5 N 解析 水流星在最高点的临界速度 v ＝ gL ＝4 m/s ，由此知绳的拉力恰为零， 且水恰不流出， 故选项 B 正确。 答案 B 1 [ 例 3] 长度为 0.5 m 的轻杆 OA 绕 O 点在竖直平面内做圆周运动， A 端连着一个质量 m＝2 kg 的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向。 (g 取 10 2 m/s ) (1) 杆做匀速圆周运动的转速为 2.0 r/s ；(2) 杆做匀速圆周运动的转速为 0.5 r/s 。 答案 (1) 小球对杆的拉力为 138 N ，方向竖直向上 (2) 小球对杆的压力为 10 N ，方向竖直向下 解析 小球在最高点的受力如图所示： (1) 杆的转速为 2.0 r/s 时， ω＝2 πn ＝4 π rad/s。 2 由牛顿第二定律得 F ＋ mg＝mLω ， 2 2 2 故小球所受杆的作用力 F ＝mLω －mg＝2 ×(0.5 ×4 － 10) N ≈138 N， ×π 即杆对小球提供了 138 N 的拉力。 由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为