复变函数与积分变换经典考试例题.pdf

复变函数与积分变换经典例题整理 目录 复变函数与积分变换经典例题整理 1 第一章例题 2 第二章例题 4 第三章例题 12 第四章例题 23 第五章例题 29 第六章例题 33 第一章例题 例 1.1 试问函数 把 平面上的下列曲线分别变成 平面上的 何种曲线？ （1）以原点为心， 2 为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角 的直线； （3）双曲线 。 解 设 ，则 因此 （1）在 平面上对应的图形为：以原点为心， 4 为半径，在上半平 面的半圆周。 （2）在 平面上对应的图形为：射线 。 （3 ）因 ，故 ，在 平面上对应的图形 为：直线 。 例 1.2 设 在点 连续，且 ，则 在点 的某以邻域内 恒不为 0. 证 因 在点 连续，则 ，只要 ，就有 特别，取 ，则由上面的不等式得 因此， 在 邻域 内就恒不为 0。 例 1.3 设 试证 在原点无极限，从而在原点不连续。 证 令变点 ，则 从而 （沿正实轴 ） 而沿第一象限的平分角线 ， 时， 。 故 在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例 2.1 在 平面上处处不可微 证 易知该函数在 平面上处处连续。但 当 时，极限不存在。因 取实数趋于 0 时，起极限为 1， 取纯虚数而趋于零时，其极限为－ 1。故 处处不可微。 例 2.2 函数 在 满足定理 2.1 的条件，但在 不可 微。 证 因 。故 但 在 时无极限，这是因让 沿射线 随 而趋于零，即知上式趋于一个与 有关的值 。 例 2.3 讨论 的解析性 解 因 , 故 要使 条件成立，必有 ，故 只在 可微，从而， 处处不解析。 例 2.4 讨论 的可微性和解析性 解 因 , 故 要使 条件成立，必有 ，故 只在直线 上可 微，从而，处处不解析。 例 2.5 讨论 的可微性和解析性，并求 。 解 因 , 而 在复平面上处处连续且满足