3.2 函数的基本性质.docx

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PAGE53 / NUMPAGES551 3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 课标解读 课标要求 素养要求 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它的作用和实际意义. 1.逻辑推理—会用函数单调性的定义判断或证明一些函数的单调性. 2.直观想象—会利用函数图象求一些具体函数的单调区间. 自主学习·必备知识 要点一 增函数与减函数 一般地,设函数f(x) 的定义域为I ,区间D?I : 如果?x1,x2∈D ,当x1x2 时,都有① 特别地,当函数f(x) 在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数. 如果?x1,x2∈D ,当x1x2 时,都有③ 特别地,当函数f(x) 在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数. 要点二 函数的单调区间 如果函数y=f(x) 在区间D 上⑤ 单调递增 或⑥ 单调递减 ,那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x) 的单调区间. 自主思考 1.若f(x) 是R 上的增函数,则f(π+4) 与 答案:提示 f(π 2.若函数f(x)=x2+4x?3 在区间[a,b] 上单调递增,则是否存在x1, 答案:提示 不存在. 名师点睛 1.函数单调性的定义的等价形式 设x1 (1)f(x1)?f( (2)f(x1)?f( 2.并非所有的函数都具有单调性.如f(x)=1,x\text 3.图象变换对单调性的影响 (1)函数图象上下平移不影响单调区间,即y=f(x) 和y=f(x)+b 的单调区间相同. (2)函数图象左右平移影响单调区间.如y=x2 的单调递减区间为(?∞,0),y=(x+1) (3)y=k?f(x) ,当k>0 时,函数的单调区间与f(x) 的相同,当k<0 时,函数的单调区间与f(x) 的相反. 4.单调区间 单调区间可以是整个定义域.如y=x 在整个定义域(?∞,+∞) 上单调递增,y=?x 在整个定义域(?∞,+∞) 上单调递减.单调区间也可以是定义域的真子集.如y=x2 在定义域(?∞,+∞) 上不具有单调性,但在(?∞,0) 上单调递减,在 5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪ ”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数y=1x(x≠0) 在区间(?∞,0) 和(0,+∞) 上都单调递减,不能写成y= 6.函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D 而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题.因此在写单调区间时,区间端点可以包括,也可以不包括.但对于函数无意义的点,单调区间一定不能包括. 互动探究·关键能力 探究点一 用定义法证明(判断)函数的单调性 精讲精练 例 已知函数f(x)=1 (1)求f(x) 的定义域; (2)判断函数f(x) 在(1,+∞) 上的单调性,并加以证明. 答案:(1)由x2?1≠0 得 故函数f(x)=1x2 (2)函数f(x) 在(1,+∞) 上为减函数.证明: ?x1, 则f(x =( =( 由x1 得x1 所以x1 又由x1 得x2 所以f(x 即f(x 故函数f(x) 在(1,+∞) 上为减函数. 解题感悟 利用定义证明函数单调性的步骤 迁移应用 1.求证:函数f(x)=x?1x 在区间 答案:证明 ?x1, 则f(x =x ∵x1, ∴x1?x2 ∴f(x)=x?1x 在区间 探究点二 求函数的单调区间 精讲精练 例 已知f(x)=x (1)画出函数f(x) 的图象; (2)求函数f(x) 的单调区间. 答案:(1)函数f(x) 的图象如图所示: (2)由f(x) 的图象可得,单调递减区间为[?3,?2),[0,1),[3,6] ,单调递增区间为[?2,0),[1,3) . 解题感悟 求函数单调区间的两种方法 (1)图象法:先画出图象,再根据图象求单调区间. (2)定义法:先求出定义域,再利用定义法进行判断. 迁移应用 1.函数f(x)=|2x?1| 的单调递减区间是 . 答案:(?∞,1 解析:函数f(x) 的图象如图所示: 由图象易知函数的单调递减区间为(?∞,1 2.求函数f(x)=1 答案:由题意得x?1≠0 ,得x≠1 ,所以函数f(x)=1x?1 的定义域为(?∞,1)∪(1,+∞).?x 则f(x 因为x1<x 所以f(x 即f(x 所以函数f(x) 在(?∞,1) 上单调递减. 同理,函数f(x) 在(1,+∞) 上单调递减. 综上,函数f(x) 的单调递减区间是(?∞,1),(1,+∞) . 探究点三 函数单调性的应用 精讲精练 例(1)已知函数f(x)=?x ①若函数f(x) 在

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