柯西中值定理主要内容、相关证明及相关例题.pptx

§ 2柯西中值定理和 不定式极F艮 柯西中值走理是此拉格朗可定理更一 般的中值定理，本节用它来解决求不 定式极F艮的问题. 一、 柯西中值定理 二、 不定式极F艮;一、柯西中值定理 定理6.5(柯西中值定理)设函数/(x), g(x)在区间 MM1上满足: (i) f(x), g(x)在闭区间［务上连续； (ii) f(x), g(x)在开区间(a,b)上可导； (iii) 广2(x)+ /2(x)o； (iv) g(a)。g(b)? 则在开区间内必定(至少)存在一点員使得;= fW - f(a) g? g(b) — g(a);证作辅助函数;例1设函数f在区间［a, b］(a 0)上连续，在(务力) 上可导，则存毎使得 a 证 设g(x) = lux,显然/(X), g(x)在［a, b］上满足 柯西中值定理的条件，于是存在Eb),使得;二、不定式极F艮 在极限的四则运算中，往往遇到分子，分母均为无 穷小量（无穷大量）的表达式.这种表达式的极限 比较复杂，各种结果均会发生.我们将这类极限统 称为不定式极限.现在我们将用柯西中值定理来研 究这类极限??这种方法统称为洛必达法则. 1.°型不定式极限 0;定理6.6若函数，和g满足:;在点X0连续.任取X G L/°(x0),则在区间lx0,x] (lx,xol)上应用柯西中值定理，有;XT+8, xT-oo的情形，只要修正相应的邻域,;2;这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的 代换，其目的就是使得计算更简洁些. 例3求lim 一-么广. 10+ 1 一 / 解这显然是*型不定式极限，可直接利用洛必达 法则.但若作适当变换,在计算上会显得更简洁些. 令t = vx,当x-0+时有 0+,于是 lim * 匚=lim ―^―- = lim —= -1. x-o+ ] — e J、 ft。+ 1 — e r-o+ —e;2;2.竺型不定式极限 00 定理6.7若函数/和g满足:;证设/为实数.对于任意的￡ 0, 3xj e。；1人0丿,;另一方面,;f(x) fjx^-nx) g(x) g(xj - g(x);注这里的X—X^可以用X—X~, X T X。,;X;.. 2x + sinx lim-------- xT°°2x-sinx;所以A = l.若错误使用洛必达法则： .. arctan x 1 l + 4x2 ? lim---------= lim----7--= 2, xT+oo arctan 2x 宀+^ 1 + x 2 这就产生了错误的结果.这说明：在使用洛必达法 则前，必须首先要判别它究竟是否是9或三型. 0 00 3 .其他类型的不定式极限 不定式极限还有0 oo,r,0°, 00°, 00±00等类型，它 们一般均可化为°型或者-型. 0 00 下面我们举例加以说明?;Inx;1;1;1;解;已知 g(0) = g(0) = 0,g(0) = 3,求，(0).;1 3 =技（。）亏?;lim ev/(x) = +oo. x—+oo 根据洛必达法则，有;lim(F(x) + F(x)) = l. X-?+00 7