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第四节 相对运动
研究一个物体的运动时,总要选择一个参照物作为标准。很多问题中的参照物就是我们认为静止的地面。在一些问题中,我们也需要选择其他运动着的物体作为参照物,这样会使得解决问题更加方便快捷。
一、共线的两个物体的相对运动
在同一直线上运动的,两个物体,其相对运动又分为两种情况:
(1)如图3.51所示,若两者同向运动,其中物体相对于物体的运动速度,若为正,则离越来越远,反之,离越来越近。
(2)如图3.52所示,若两者反向运动,其中物体相对于物体的运动速度。
上述相对速度的计算也可以将表示,两物体速度的有向线段的起点画在同一点,则从的末端指向末端的有向线段就表示,如图3.53所示例子。
例1 一条船逆流而上航行,已知河水流速为,船在静水中的速度为。船行至靠近岸边的处时一只木箱子掉入水中,直至时间后被船员发现,于是船立即掉头寻找箱子,并于靠近岸边处将箱子捞起。不计船掉头所需的时间,河道笔直,求,之间的距离。
分析与解 船在静水中的速度并不是船相对于地面的速度,而是指船相对于河水的速度,下面我们分别以地面和河水为参照物,来求解这个问题。
(1)以地面为参照物。船逆流而上时对地速度为,掉头后顺流而下对地的速度为,木箱顺水漂流对地速度为,画出船及木箱的运动示意图如图3.54所示。从木箱掉落的处到处,船向上游前进了的距离,设从船掉头到追上木箱用时,则船追赶箱子向下游前进了距离。从木箱掉落到被捞起,木箱向下游移动的距离为,则有,解得,因此,之间的距离为。
(2)以河水为参照物。无论船向上游还是向下游行驶,相对于河水的速度大小总是,而相对于水,木箱保持静止,因此,船在木箱落水后时间返回,则一定又经过时间找到木箱,从船返回到找到木箱这个过程,船对地移动的距离即为。
由本题可以看出,选择合适的参照物往往可以使解决问题变得更简便,甚至使得看起来无从下手的问题也轻而易举就得到解决。如果参照物选择不当就会适得其反,需要同学们多总结、多思考。
例2 商场中有一自动扶梯,某顾客以相对扶梯的速度沿开动上行的扶梯走上楼时,数得走了级,当他用同样的速度相对扶梯沿向下开动的自动扶梯走上楼时,数得走了级,已知自动扶梯向上、向下运行的速度大小恒为,问:,的比值为多少?静止时自动扶梯露出的级数为多少?
分析与解 人沿着扶梯上行时,人相对扶梯的速度为,则人对地的速度为,设扶梯露出的级数为,每一级长度为,则人上行的时间为,人“数得”的扶梯级数相当于是人相对扶梯走过的距离,因此有
①
人沿着扶梯下行时,人对地的速度为,则人下行的时间为,因此
②
联立①②两式可得
,
二、不共线的两个物体的相对运动
如图3.55所示,当两个物体速度方向不共线时,我们仍将表示,两物体速度的有向线段的起点画在同一点,则从的末端指向末端的有向线段就表示对的相对速度,自点画虚线平行于,则就是相对于的运动路线,即以为参照物时,的速度为,运动路线为直线。
例3 如图3.56所示,甲、乙两物体相距,甲在乙的正东方,某时刻甲以的速度向正北方向运动,同时乙以的速度向正东方向运动。
(1)以甲为参照物,乙向________运动。
(2)开始运动时,经过________时间甲和乙的距离最小。
分析与解 (1)如图3.57所示,将,起点画在乙物体上,则从末端指向末端的有向线段相即为乙相对于甲的速度。以乙初始位置为起点作平行于相的虚线,此虚线即为乙相对于甲的运动轨迹,可见,乙相对于甲的运动方向是东偏北。
(2)以甲为参照物,则认为甲静止在初始位置。自甲的初始位置向乙的相对运动轨迹作垂线,该垂线段的长度即为甲、乙间的最小距离,垂足与乙的初始距离记为,由几何关系可得,,则最短时间为。
参照物的合理选取以及两物体间相对速度的关系这类问题在竞赛中经常出现,也是考生失分较为严重的试题,下面我们再举几个例子,希望读者能够熟练掌握这种方法。
例4 如图3.58所示,船从港口出发去拦截正以速度沿直线航行的船,与所在航线的垂直距离为,船起航时,与的距离为,若忽略起动的时间,并认为一起航就做匀速运动,为使船能以最小速率拦截到船,下列说法正确的是( )。
A.船应以方向运动
B.船应以方向运动
C.船的最小速率为
D.船的最小速率为
分析与解 以为参照物,则可视为静止,若拦截到,则相对于的运动轨迹必为连线,即对的相对速度的方向应由指向。将船的速度画在上,以的末端为起点作连线的平行线如图3.59所示,则该平行线的方向即为的方向,应由点指向相的末端,,,三者构成一个三角形。当取不同值时,亦随之变化。当,相互垂直时,可知取得最小值。根据图3.59三角形相似的关系,可得,可得船最小
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