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借鉴字母意义的历史演进设计教学 1研究背景与问题提出 “用字母表示数”是由自然的“算术语言”向抽象的“代数语言”过渡的起始，是学生代数学习的入门知识，是学习方程、不等式等的重要基础．大量研究发现学生对“用字母表示数”存在认知困难，如薛文叙[1]、虞琳娜[2]、ClementJ[3]、BardiniC[4]等等，从各个不同的侧面进行研究，发现学生对“用字母表示数”的理解存在很多问题．HartKM等人研究11~16岁儿童对字母的理解，发现儿童对字母的理解大体分为6类：给字母赋值、忽略字母意义、当成物体、特定未知量、广义的数、变量[5]．HarperE在上世纪80年代前后曾对英国两所文法学校1~6年级的学生，使用丟番图《算术》中的名题：“已知两数的和与差，证明这两个数总能求出．”进行测试，获得研究结论：学生对符号代数的认知发展过程与符号代数的历史发展过程具有相似性[6]．Radford[7]、汪晓勤[8]等人的研究证实：学生对某些数学概念的认知与概念的历史发展之间具有相似性．据此，若能以恰当方式将数学概念的历史发展与学校教学融合起来，必将促进学生对概念的理解与认知发展．那么，现在的学生对“用字母表示数”的理解情况是怎样的？对此，确定如下两个研究问题：（1）学生怎样理解、运用字母？（2）学生对“字母表示数”的认知发展过程和该知识的历史发展过程是否印证已发现的相似性？ 2“用字母表示数”的历史概述 追溯“用字母表示数”的历史发展进程，可以沿宏观与微观两条路径进行．宏观上考察符号代数的历史发展阶段；微观上查阅史料，理清字母意义的历史演进过程． 2.1符号代数的历史发展阶段在中国，“代数”一词源自清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力（AWylie）于1859年合译的第一部符号代数教材《代数术》．李善兰所创“代数”一词，正是取“用字母代替数”之义．通常数学史家认为代数学的发展经历了大致3个主要阶段：修辞?缩略?符号．如NezzelmannGH在其著作《希腊代数》（1842）中就是这样划分的．人们往往将丢番图以前时期的代数称作“修辞代数”．在那时，人们没有使用符号表示未知数，所有问题的讨论解决都是用长篇文字说明．“缩略代数”阶段以引入字母表示未知量为典型特征．丢番图是这一时期的典型代表人物．他用一个特殊的记号“?”表示未知量，用专门的符号表达乘幂、减号等．后来，使用不同字母表示不同数，但是可以看到字母总是表示未知量．随后的代数学家，如阿里耶波多（AryabhataⅠ）、花拉子米等虽朝向符号代数有所接近，但只在字母表示数的类型与方程解的一般性上做出了贡献，而不是尝试表达“一般量”或说“一类量”．“符号代数”应归功于16~17世纪法国杰出的数学家韦达（FrancoisViète）与笛卡尔（RenéDescartes）．韦达在其著作《分析引论》中第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量，他把符号代数称作“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算施行于具体的数．这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问．笛卡尔则主要对韦达的符号系统进行了改进． 2.2字母意义水平的历史演进过程对应符号代数的历史发展过程，用来表示数的字母在具体意义上的历史演进过程为：记数?未知?一类．伴随着人们对字母表示数意义的认识水平的提高，字母表示数的功能逐步得到发展与完善，而这是一个漫长的历史演进过程．从公元前3世纪算起，从最初用字母只表示“记数符号”的代数思想萌芽开始，经过若干人的摸索与不断推进，直到16~17世纪，用“字母”表示“一类量”思想的形成，跨越了2000多年的时间．历史史实等呈现如表1所示． 3研究方法 采用实证研究方法，通过测试与个别访谈，对学生“用字母表示数”问题的解答进行定量与定性分析． 3.1样本为摸清学生对“用字母表示数”内容的认知情况，2010年9月对上海市某中学的一个初中预备班学生共52人进行测试，收回有效卷52份．该校是上海一所普通中学，每个年级所有班均为平行班，所选样本基本能够反映上海市初中学生的一般情况． 3.2工具测试题的设定：结合《全日制义务教育课程标准》[13]中对“用字母表示数”的基本要求，从字母表示数的具体意义：“记数符号”“未知量”“一类量”不同层面入手，共设置4题，测试卷编制如下：试题1：如图1，游乐场的大转盘的最高点、最低点分别距离地面110米、10米，那么这个大转盘的半径是多少？试题2：已知圆的周长为r，那么圆的面积是多少？试题3：学校买了x只足球，每只24元；又买了5只篮球，每只y元，式子24x+5y的意义是什么？试题4：已知两个数的和与这两个