（沪教版2020必修一）2021-2022学年高一数学重难点专题-第11讲 函数的奇偶性（含解析）.docxVIP

2 - 第11 第11讲 函数的奇偶性 知识梳理与应用 主要考察一：奇偶性的定义与判断 1、轴对称图形与中心对称图形 轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 性质：对称点的连线被对称轴垂直平分. 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质：对称点的连线被对称中心平分. 2、偶函数与奇函数 偶函数：关于原点对称，； 奇函数：关于原点对称，； 偶函数等价形式：关于原点对称，； 奇函数等价形式：关于原点对称，； 定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件.若定义域不关于原点对称，则函数必为非奇非偶函数. 3、函数运算与函数复合的奇偶性 运算或复合后定义域依然关于原点对称的情况下 运算：奇奇=奇；偶偶=偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶； 复合：奇（奇）=奇；奇（偶）=偶；偶（奇）=偶；偶（偶）=偶. 4、常见的奇偶函数模型 常见的奇函数模型： 奇次幂函数及其线性组合：； 定义域关于原点对称，函数是奇函数； 指数复合：； 对数复合：，； ； ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 常见的偶函数模型： 偶次幂函数及其线性组合： ； 定义域关于原点对称，函数是偶函数； 自变量加绝对值：； 指数复合： ；  基础1：判断函数的奇偶性 【例1】（编者精选）★★☆☆☆ 写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）；；（2）；（3）； （4）；（5） 【答案】答案见解析 【详解】 （1）此函数的定义域为R，，∴此函数为奇函数． （2），∴此函数的定义域为 ∴此函数为偶函数 （3），∴此函数的定义域为 ，∴此函数为偶函数 （4），∴此函数的定义域为 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数 （5） ，，∴此函数的定义域为 ∴此函数既是奇函数又是偶函数 【例2】（2021·上海徐汇区·高三二模）★★★☆☆ 已知函数．针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性． 【答案】当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数． 【详解】 函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0； 代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数， 若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0； 又当a＝0时，， 则； 对任意x∈[﹣1，1]都成立， 综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数． 【练习】（2020·上海市建平中学高一月考）★★☆☆☆ 已知，判断并证明的奇偶性. 【答案】奇函数．证明见解析． 【详解】 为奇函数，证明： 函数的定义域为关于原点对称． ，又. ，为奇函数．  基础2：根据函数的奇偶性求参数 【例3】（2021·上海市建平中学高一期末）★★☆☆☆ 若函数是偶函数，则实数的值是（ ）． A．-1 B．0 C．1 D．不唯一 【答案】C 【详解】 因为函数是偶函数, 所以,即,解得: a=1 故选:C. 【例4】（2020·上海市新场中学高三月考）★★★☆☆ 已知函数，若函数为奇函数，则实数为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由为奇函数， 且，可得时，， 所以，令，经检验满足 故选：B. 【练习】（2020·上海崇明区·高三月考）★★★☆☆ 函数为偶函数的充要条件是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：， 则， 则函数为偶函数的充要条件是的定义域不为空集，且关于原点对称， 不等式有解，即有解， ， . 故选：C. 主要考察二：函数的奇偶性的应用 基础1：根据奇偶性求函数值 【例5】（2021·上海高一期末）★★★☆☆ 若是定义在R上的奇函数，当时，，则__________． 【答案】 【详解】 因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 又由当时，，则， 所以. 【例6】（2021·上海市大同中学高三月考）★★★☆☆ 定义在上的函数，其中是奇函数，满足且，则___________. 【答案】 【详解】 为奇函数，， ，解得：，. 【例7】（2020·华东师范大学第一附属中学高一月考）★★★☆☆ 已知，若，则________. 【答案】-7 【详解】 因为 令，则 . 所以，. 【练习】（2019·上海市七宝中学高一月考）★★★☆☆ 已知函数是奇函数，且，则________. 【答案】-5 【