九年级数学上册 第23章 解直角三角形知识点总结 （新版）沪科版.docVIP

解直角三角形 一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即 sin A = , （2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即 cos A = , （3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即 tan A = ， (4)锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA即 锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。 这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系 注意:锐角三角函数的定义应明确(1) ， ，， 四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的； （2）sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样； （3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系： (2)倒数关系：tanａ cota=1 (3)商数关系： 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。 (2)的简写，读作“ 的平方”，不能将前者是a的正弦值的平方，后者无意义； （3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如，而就不一定成立。 （4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。 （三）余角的函数关系式 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即 sinA=cos(90°-A) cosA=sin(90°-A) tanA=cot（90°-A） cotA=tan(90°-A) 注意：此关系涉及的两角必须互余，左右两边的函数名称不同，其主要作用就是改变函数名称。 （四）特殊角的三角函数值 00 300 450 600 90° sinα 0 1 cosαα 1 0 tanααα 0 1 不存在在在 cotα 不存在 1 0 （五）三角函数值的变化规律及范围 1.当角度在0°~90°之间变化时： 正弦值岁角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 2、当0°≤a≤90°时，0≤sina≤1，0≤cona≤1， 3.遇到求锐角余切值时，可利用关系式cotA=tan(90°-A) 或tanａ cota=1 二、解直角三角形 （一）三角函数的概念RT△ABC中， sin A = , cos A = , tan A = ， （二）解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 （三）解直角三角形的依据 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a,b,c 三边之间的关系： 锐角之间的关系：∠A+∠B=90° 3.边角关系：sin A = , cos A = , tan A = ， 4.面积关系： （四）直角三角形的可解条件 1.已知两边可解直角三角形 2.已知一边及一锐角可解直角三角形 说明：已知两个角不能接直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，不一定全等，因此起边的大小不确定。 （五）解直角三角形的基本类型 已知 求解 备注 A已知 A 一条 直角边 和一 个锐角 C a B C a B a,∠A） ∠B=90°-∠A,C= b=acosA (或a=) （1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a,b,c A已知斜边和一个锐角（如c,A） A a a C C B ∠B=90°-∠A a=csinA, b=CconA (或a=) （2）方法要灵活，选择关系式时，尽量考虑能用原始数据，减少误差 已知两个直角边啊a, b A A b b C C a B C= 由tanA=求∠A ∠B=90°-∠A A已知斜边和一条直角边（如a和c） A C C C C a B b=