2015年高三数学专题---离心率求值或范围问题要点.pdf

2015 年高三数学专题 离心率求值或范围问题 离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处 理的思路和方法比较灵活， 关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范 围. 很多同学掌握起来比较困难，本专题就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳 . 一、【知识储备】求离心率的方法 离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度的常用方法： （1）直接求出 a,c 求解出 e, 有时候也要关注定义，如在椭圆中 PF PF 2a, F F 2c ，则 1 2 1 2 c F F c F F 1 2 1 2 e ，同理在双曲线中 e （假设 P 在双曲线右支上） a PF PF a PF PF 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c a b b 2 c a b b （2 ）变用公式，整体求出 e: 在椭圆中 e 2 2 1 2 ，在双曲线中 e 2 2 1 2 a a a a a a （3 ）构造 a,c 的齐次式，解出 e, 根据题设条件，借助 a,b,c 之间的关系，构造出 a、 c 的齐次式，进而得 出关于 e 的方程，通过解方程得出离心率 e 的值。 二、 求解离心率的范围的方法 途径一：借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的 最值等得到不等关系， 然后将这些量结合曲线的几何性质用 a ,b,c 进行表示， 进而得到不等式， 从而确定离 心率的范围 . 2 a 例 1． 已知椭圆的中心在 O , 右焦点为 F ，直线 l 方程为 x ，若在 l 上存在点 M ，使线段 OM c 的垂直平分线经过点 F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. 2 B. 3 C. 3 D. 2 ,1 0, ,1 0,