恒等变换与伸压变换.pdf

恒等变换、伸压变换 【教学目标】 1．掌握恒等变换矩阵和伸压变换矩阵的特点，理解恒等、伸压变换的几何意义． 2．熟练运用恒等变换和伸压变换进行平面图形的变换 【教学过程】 一、问题情境 问题 1：给定一个二阶矩阵，就确定了一个变换，它的作用是将平面上的一个点 ( 向量 )变换 成另外一个点 ( 向量 ) ．反过来，平面中常见变换是否都可以用矩阵来表示呢？如果可以， 又该怎样表示呢？ 问题 2： 已知△ ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它们在变换 T 作用 下保持位置不变 , 能否用矩阵 M 来表示这一变换 ? 二、数学建构 1．恒等变换 设△ ABC 上的任一点（ x ，y ）变换后对应的点为（ x ′，y ′）则 x x x x x 1 0 x 1 0 有 T ： ，又 ，故 M ． y y y y y 0 1 y 0 1 1 0 1 0 由矩阵 M 确定的变换 T M 称为恒等变换， 我们把矩阵 称为恒等变换矩阵 0 1 0 1 或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为 E． 平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己． 2．伸压变换 k 0 1 0 由矩阵 M= 或 M= ( k 0) 确定的变换 TM 称为（垂直）伸压变换，我们 0 1 0 k k 0 1 0 把矩阵 称为沿 y 轴或 x 轴的垂直伸压变换矩阵． 0 1 0 k k 0 当 M= 时，确定的变换将平面图形作沿 x 轴方向伸长或压缩；当 k 1时伸长， 0 1 当 0 k 1时压缩． 变换 TM 确定的变换不是简单地把平面上的点 ( 向量 ) 沿 x 轴方向 “向下 压”或 “向外伸”,它是 x 轴方向伸长或压缩 ,以 0 k 1为例， 对于 x 轴上方的点向下压缩， 对于 x 轴下方的点向上压缩，对于 x 轴上的点变换前后原地不动． 1 0 当 M= 时确定的变换将平面图形作沿 y 轴方向伸长或压缩 ,当 k 1时伸长，当 0 k 0 k 1时压缩． 在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段． 三、运用新知 第 1 页 共 3 页 2 2 1 0 例 1 求 x y 1 在矩阵 M= 作用下的图形． 0 1 例 2 已知曲线 y＝sinx 经过变换 T 作用后变为新的曲线 y＝sin2x，画出相关的图象，并求出 变换 T 对应的矩阵 M ． 1 0 例 3 验证圆 C: x 2 y2 1在矩阵 A= 对应的伸压变换下变为一个椭圆 , 并求此椭圆