九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数知识点总结 （新版）沪科版.docVIP

第21章:二次函数与反比例函数强化记忆知识点 知识点1：二次函数的图象与系数的关系. 二次函数中图象与系数的关系:（1）二次项系数的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． a0时，开口向上，a0时，开口向下。越大，开口越小。越小，开口越大。（2）一次项系数，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．若，则对称轴在轴左边，若，则对称轴在轴的右侧。若b=0，则对称轴＝0,即对称轴是轴.概括的说就是“左同右异,y轴0” （3）常数项，决定了抛物线与轴交点的位置．当时，交点在轴的正半轴上 ;当时，抛物线经过原点，;当时，交点在轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b2－4ac 决定了抛物线与x轴交点的个数. ① 当时，抛物线与轴有两个交点 ② 当时，抛物线与轴只有一个交点； ③ 当时，抛物线与轴没有交点.另外当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 注：a+b+c 表示x=1时，对应的函数值。a-b+c表示x= －1时，对应的函数值. 4a+2b+c表示x=2时，对应的函数值。9a-3b+ 知识2：一次函数的图象与系数的关系. 一次函数:y=kx＋b(k,b是常数，k≠0) 中图象与系数的关系: （1）走向：k0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第二、四象限 b0，图象经过第一、二象限；b0，图象经过第三、四象限 直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 （2）增减性： k0，y随x的增大而增大；k0，y随x增大而减小. （3）截距: 当b0时，图象交于y轴正半轴, 当b0时，图象交于y轴负半轴,当b=0时，图象交于原点. （4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴. 知识3：反比例函数的图象与系数的关系以及反比例函数性质. 反比例函数:y＝（k为常数，k≠0）中图象与系数的关系: （1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。 （2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x轴、y轴，但与x轴、y轴没有交点。 3） 越大，图象的弯曲度越小，　 越小，图象的弯曲度越大，双曲线越靠近坐标轴． 反比例函数 y＝（k为常数，k≠0） k的取值 k＜0 k＞0 图像 性质 x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0; 函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。 x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0; 函数的图像两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小。 （1）反比例函数解析式（k≠0）的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）为了计算的方便通常变形成k=xy,即k等于图像上任意一个点的横坐标与纵坐标的乘积。 （2） 反比例函数y＝（k≠0）中的比例系数k的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线y＝（k≠0）上的任意一点P（x , y）做x轴、y轴的垂线PA、PB，所得矩形OBPA的面积: 推论：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为 (3）反比例函数y＝（k≠0）图象的对称性：① 图象关于原点对称:即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． ②图象关于直线y=-x和y=x对称:即若（a，b）在双曲线的一支上，则(-b,-a)或（b,a）在双曲线的另一支上． 反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数双曲线，待定只需一个点，k为正,图在一、三(象)限；k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别增;线越长越近轴,永远与轴不沾边.图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线. 知识点4：二次函数的图象的性质 二次函数y=ax2+bx+c图象的性质 函数的图象 图象特点 函数性质 当aO时向上无限伸展； 当aO时向下无限伸展． ①自变量x的取值范围是全体实数． ②当aO时开口向上； 当aO时开口向下； 顶点为(－,)． ②aO时，当x=－时，y有最小值 为；aO时，当x=－时，y有最大值为． ③对称轴为x=－， 当aO时，对称轴左侧图象从左到右下降，对称轴右侧图象从左到右上升； 当aO时，对称轴左侧图象从左到右上升，对称轴右侧图象从左到右下降． aO时，当x－时，y随x的增大而减小；当x－时，y随x的增大而增大； aO时，当x－时，y随x的增大而增大；当x－时，y随x的增大而减小． 二次函数的图像和性质 ＞0 yxO y x O 图 象 开 口