2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答.pdf

2009 年全国高中数学联赛福建省预赛 2009 年全国高中数学联赛福建省预赛暨 2009 年福建省高中数学竞赛由福建省数学学会竞赛委员会主 办 . 由福建省数学学会竞赛委员会组织有关人员负责命题 . 命题负责人：陈荣斯 . 试题以《普通高中数学新课程标准》的内容和要求为主要依据，在方法和能力上有所提高，并适当增 加全国高中联赛中二试的内容 . 试题包括 10 道填空题， 每小题 6 分；5 道解答题， 每小题 20 分 . 全卷满分 160 分 . 考试时间： 2009 年 9 月 13 日（星期日）上午 9： 00－11：30. 考试地点：由各设区市组织进行 . 预赛由设区市负责，各设区市根据预赛成绩产生本设区市参加复赛的候选学生名单，省数学学会组织 相关人员对各设区市选送的候选名单进行审核，最后产生参加复赛的学生名单 . 同时，省数学学会根据各 设区市选送的候选学生的预赛成绩评出福建省数学竞赛一等奖、二等奖、三等奖人选 . 试 题 一、填空题（每小题 6 分，共 60 分） 1．已知向量 OP (2cos( x ) ， 1) ， OQ ( sin( x) ，cos2x ) ， f (x) OP OQ . 若 a 、 2 2 b 、c 分别是锐角 △ABC 中角 A 、 B 、C 的对边，且满足 f ( A) 1 ，b c 5 3 2 ，a 13 ， 则 △ABC 的面积 S . 2 2 1 2 ．设 a 1 ，变量 x 满足 x ax x ，且 x ax 的最小值为 ，则 a __ _____. 2 3．已知 5 个不同的实数， 任取两个求和得到 10 个和数， 其中最小的三个和数依次为 32、 36、37，最大的两个和数为 48 和 51，则这 5 个数中最大的数等于 . 4 ．一个直径 AB 2 的半圆，过 A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点 S ，使 AS AB ，C 为半圆上一个动点， M 、N 分别为 A 在 SB 、SC 上的射影 . 当三棱锥 S AMN 的 体积最大时， SC 与 平面 ABC 所成角的正弦值是 . 5 ．若定义在 R 上的奇函数 y f (x) 的图象关于直线 x 1 对称，且当 0 x 1 时， 1 f ( x ) log x ， 则 方 程 f (x) f (0) 在 区 间 ( 0， 1 0内 的 所 有 实 根 之 和 3 3 为 . 6 ．平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 ：4x 5 y 20 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、B ，直线 l2 A B、 O A C 、D AOB 2 与 线 段 分 别 交 于 点 ， 且 平 分 △ 的 面 积 ， 则 CD 的 最 小 值 为