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2009 年全国高中数学联赛福建省预赛
2009 年全国高中数学联赛福建省预赛暨 2009 年福建省高中数学竞赛由福建省数学学会竞赛委员会主
办 . 由福建省数学学会竞赛委员会组织有关人员负责命题 . 命题负责人:陈荣斯 .
试题以《普通高中数学新课程标准》的内容和要求为主要依据,在方法和能力上有所提高,并适当增
加全国高中联赛中二试的内容 . 试题包括 10 道填空题, 每小题 6 分;5 道解答题, 每小题 20 分 . 全卷满分
160 分 .
考试时间: 2009 年 9 月 13 日(星期日)上午 9: 00-11:30.
考试地点:由各设区市组织进行 .
预赛由设区市负责,各设区市根据预赛成绩产生本设区市参加复赛的候选学生名单,省数学学会组织
相关人员对各设区市选送的候选名单进行审核,最后产生参加复赛的学生名单 . 同时,省数学学会根据各
设区市选送的候选学生的预赛成绩评出福建省数学竞赛一等奖、二等奖、三等奖人选 .
试 题
一、填空题(每小题 6 分,共 60 分)
1.已知向量 OP (2cos( x ) , 1) , OQ ( sin( x) ,cos2x ) , f (x) OP OQ . 若 a 、
2 2
b 、c 分别是锐角 △ABC 中角 A 、 B 、C 的对边,且满足 f ( A) 1 ,b c 5 3 2 ,a 13 ,
则 △ABC 的面积 S .
2 2 1
2 .设 a 1 ,变量 x 满足 x ax x ,且 x ax 的最小值为 ,则 a __ _____.
2
3.已知 5 个不同的实数, 任取两个求和得到 10 个和数, 其中最小的三个和数依次为 32、
36、37,最大的两个和数为 48 和 51,则这 5 个数中最大的数等于 .
4 .一个直径 AB 2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点 S ,使
AS AB ,C 为半圆上一个动点, M 、N 分别为 A 在 SB 、SC 上的射影 . 当三棱锥 S AMN 的
体积最大时, SC 与 平面 ABC 所成角的正弦值是 .
5 .若定义在 R 上的奇函数 y f (x) 的图象关于直线 x 1 对称,且当 0 x 1 时,
1
f ( x ) log x , 则 方 程 f (x) f (0) 在 区 间 ( 0, 1 0内 的 所 有 实 根 之 和
3
3
为 .
6 .平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1 :4x 5 y 20 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、B ,直线 l2
A B、 O A C 、D AOB 2
与 线 段 分 别 交 于 点 , 且 平 分 △ 的 面 积 , 则 CD 的 最 小 值
为
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