[理学]第二章 非线性方程组的数值解法1.ppt

* 第二章 非线性方程（组）的数值解法 /* Numerical Solutions of Nonlinear Equations（Group） */ 本章主要内容： 1、二分法 2、不动点迭代的构造及其收敛性判定（重点） 3、Newton和Steffensen迭代（重点） 4、割线法 5、非线性方程组的迭代解法 历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上， 次代数方程在复数域内一定有 个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。 求方程 几何意义 基本定理 如果函数 在 上连续，且 则至少有一个数 使得 ，若同时 的一阶导数 在 内存在且保持定号，即 (或 )则这样的 在 内唯一。 a b x* §1 二分法 /* Bisection Method */ 原理：若 f ?C[a, b]，且 f (a) · f (b) 0，则 f 在 (a, b) 上至少有一实根。 基本思想：逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，进一步有哪些信誉好的足球投注网站有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求 出满足给定精度的根 的近似值。 以此类推 终止法则？ a b x1 x2 a b When to stop? 或 不能保证 x 的精度 x* ?2 x x* 二分法算法 给定区间[a,b] ，求f(x)=0 在该区间上的根x. 输入: a和b; 容许误差 TOL; 最大对分次数 Nmax. 输出: 近似根 x. Step 1 Set k = 1; Step 2 Compute x=f((a+b)/2); Step 3 While ( k ? Nmax) do steps 4-6 Step 4 If |x| TOL , STOP; Output the solution x. Step 5 If x*f(a)0 , Set b=x; Else Set a=x; Step 6 Set k=k+1; Compute x=f((a+b)/2);Go To Step 3 ; Step 7 Output the solution of equation: x; STOP. 3、 由二分法的过程可知： 4、对分次数的计算公式： 1、 2、 令 误差 分析 解： 例1：用二分法求方程 在区间 上的根，误差限为 ，问至少需对分多少次？ ①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ②收敛慢 注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。或用有哪些信誉好的足球投注网站程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一个满足 f (ak)·f (bk) 0 的区间调用二分法程序，可找出区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) 0 。 优点 缺点 §2 迭代法的理论 /* Theory of Iteration Method*/ f (x) = 0 x = g (x)（迭代函数） 等价变换 思路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, xk+1 = g(xk), … 若 收敛，即存在 x* 使得 ，且 g 连续，则由 可知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。 看起来很简单，令人有点不相信，那么问题是什么呢？ 如何判定这种方法是收敛的呢？ f (x) 的根 g (x) 的不动点 一、不动点迭代 /*Fixed-Point Iteration*/ x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* y=g(x) y=g(x) y=g(x) y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? 几何意义 例2： 已知方程