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1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
学习目标 ：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景 .2.会求函数在某一点附近的平均变化率． (重
点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． (重点、难点 )4.理解函数的平均
变化率，瞬时变化率及导数的概念． ( 易混点 )
[ 自 主 预 习 探· 新 知]
1．函数的平均变化率
Δy f x2 －f x1
到 x 的平均变化率为 ＝ ，其中 Δx ＝x －x
(1)函数 y＝f (x)从 x1 2 Δx x2 －x1 2 1
是相对于 x 的一个“增量”， Δy＝f(x ) －f (x )＝f(x ＋ Δx) －f(x )是相对于 f(x )的
1 2 1 1 1 1
一个“增量”．
(2)平均变化率的几何意义
设 A(x ，f (x )) ，B(x ，f(x ))是曲线 y ＝f(x)上任意不同的两点，函数 y ＝f(x)
1 1 2 2
Δy f x2 －f x1 f x1 ＋ Δx －f x1
的平均变化率 ＝ ＝ 为割线 AB 的斜率，如图 1-1-1 所
Δx x2 －x1 Δx
示．
图 1-1-1
思考 ： Δx， Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？
1
Δy
[提示 ] Δx ，Δy 可正可负， Δy 也可以为零， 但 Δx 不能为零． 平均变化率 Δx可
正、可负、可为零．
2 ．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
处的瞬时变化率是函数 f (x)从 x 到 x ＋ Δx 的平均变化率
(2)函数 f (x)在 x＝x0 0 0
Δy f x0＋ Δx －f x0
在 Δx→0 时的极限即 lim ＝ lim .
Δx Δx
Δx→0 Δx →0
3．导数的概念
函数 y ＝f(x)在 x ＝x 处的导数就是函数 y ＝f (x)在 x＝x 处的瞬时变化率，记
0 0
f x0 ＋ Δx －f x0
作 f ′(
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