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1.3.3 函数的最大 (小)值与导数
学习目标 ： 1.理解函数的最值的概念． (难点 )2. 了解函数的最值与极值的区
别与联系． (易混点 )3.会用导数求在给定区间上函数的最值． (重点 )
[ 自 主 预 习 探· 新 知]
1．函数的最大 (小)值的存在性
一般地，如果在区间 [a ，b]上函数 y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那
么它必有最大值与最小值．
思考 ：函数的极值与最值的区别是什么？
[提示 ]函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内
所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．
函数的最大值、 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的， 函数的极值是
比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；
极值只能在区间内取得， 最值则可以在端点取得； 有极值的未必有最值， 有最值
的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数 f (x)在开区间 (a，b) 内只有一个导数为零的点时，若在这一点处
f (x)有极大值 (或极小值 )，则可以判定 f (x)在该点处取得最大值 (或最小值 )，这里
(a，b)也可以是无穷区间．
2 ．求函数 f (x)在闭区间 [a，b] 上的最值的步骤
(1)求函数 y＝f(x)在 (a，b) 内的极值；
(2)将函数 y＝f(x) 的各极值与端点处的函数值 f(a)，f (b) 比较，其中最大的一
个就是最大值，最小的一个就是最小值．
[基础自测 ]
1．思考辨析
(1)函数的最大值一定是函数的极大值． ( )
1
(2)开区间上的单调连续函数无最值． ( )
(3)函数 f (x)在区间 [a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得． ( )
[答案 ] (1) × (2) √ (3) ×
2 ．函数 f(x) ＝2x－cos x 在 (－∞，＋∞ )上 ( )
A ．无最值 B ．有极值
C．有最大值 D ．有最小值
A [f ′(x) ＝2 ＋sin x0 恒成立，所以 f (x)在(－∞ ，＋∞)上单调递增， 无极值，
也无最值． ]
x
3．函数 f(x) ＝ x在区间 [2,4]上的最小值为 ( )
e
1
A ．0 B ．
e
4 2
C． 4 D ． 2
e e
x x
e －xe 1－x
C [f ′(x) ＝ x 2 ＝ x ，当 x ∈[2,4]时，f ′(x)＜0，即函数 f (x)在区间 [2,4]
e e
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