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第三章 应变状态分析
知识点
位移与变形
正应变
纯变形位移与刚性转动位移
应变分量坐标转轴公式
主应变齐次方程组
体积应变
变形协调方程
变形协调方程证明
变形与应变分量
切应变
几何方程与应变张量
位移增量的分解
应变张量
应变状态特征方程
变形协调的物理意义
变形协调方程的数学意义
多连域的变形协调
一、内容介绍
本章讨论弹性体的变形,物体的变形是通过应变分量确定的。因此,首先确定位移与应变分量的基本关系-几何方程。由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的,因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系,才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量,在不同坐标系中是不同的。因此,应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。这个关系就是应变分量的转轴公式;根据转轴公式,可以确定一点的主应变和应变主轴等。当然,由于应变分量满足二阶张量变化规律,因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件,就是位移的单值连续性质。假如位移函数不是基本未知量,由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的,因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。这在数学上,就是应变分量必须满足变形协调方程。在弹性体的位移边界,则必须满足位移边界条件。
二、重点
1、应变状态的定义:正应变与切应变;应变分量与应变张量;2、几何方程与刚体转动;3、应变状态分析和应变分量转轴公式;4、应变状态特征方程和应变不变量;主应变与应变主轴;5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量 几何方程
学习思路:
由于载荷的作用或者温度的变化,物体内各点在空间的位置将发生变化,就是产生位移。这一移动过程,弹性体将同时发生两种可能的变化:刚体位移和变形位移。变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述,微分单元体的变形分为两个部分,一是微分单元体棱边的伸长和缩短;二是棱边之间夹角的变化,分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题,单元变形可以投影于坐标平面分析。根据正应变和切应变定义,不难得到应变与位移的关系-几何方程,或者称为柯西方程。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。几何方程可以表示为张量形式,应该注意的是,正应变与对应应变张量分量相等;而切应变等于对应的应变张量分量的两倍。
几何方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。
学习要点:
1、位移函数;2、变形与应变分量;3、正应变表达式;4、切应变分量;5、几何方程与应变张量。
1、位移函数
由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响,物体内各点在空间的位置将发生变化,即产生位移。这个移动过程,弹性体将可能同时发生两种位移变化。
第一种位移是位置的改变,但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变,这种位移是物体在空间做刚体运动引起的,因此称为刚体位移。
第二种位移是弹性体形状的变化, 位移发生时不仅改变物体的绝对位置,而且改变了物体内部各个点的相对位置,这是物体形状变化引起的位移,称为变形。
一般来说,刚体位移和变形是同时出现的。当然,对于弹性力学,主要是研究变形,因为变形和弹性体的应力有着直接的关系。
根据连续性假设,弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。那么弹性体中某点在变形过程中由M(x,y,z)移动至M(x,y,z),这一过程也将是连续的,如图所示。在数学上,x,y,z 必为x,y,z的单值连续函数。设MM=S为位移矢量,其三个分量u,v,w为位移分量。则
u=x(x,y,z)-x=u(x,y,z),
v=y(x,y,z)-y=v(x,y,z)
w=z(x,y,z)-z=w(x,y,z)
显然,位移分量u,v,w也是x,y,z的单值连续函数。以后的分析将进一步假定位移函数具有三阶连续导数。
2、变形与应变分量
为进一步研究弹性体的变形情况,假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元,其六个面分别与三个坐标轴垂直。
对于微分单元体的变形,将分为两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长和缩短;二是棱边之间夹角的变化。弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
对于微分平行六面体单元,设其变形前与x,y,z坐标轴平行的棱边分别为MA,MB,MC,变形后分别变为MA,MB,MC。
假设分别用?x???y???z表示x,y,z轴方向棱边的相对伸长度,即正应变;分别用?xy???yz???zx表示x和y,y和z,z和x轴之间的夹角变化,即切应变。则
对于小变形问题,为了简化分析,将微分单元体分别投影到Oxy,Oyz,Ozx平面来讨论。
显然,单元体变形前各棱边是与坐标面平行的,变形后棱边将有相应的转动,但我们讨论的是小变形问题,这种转动所带来的影响较小。特别
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