第讲 二次函数图象和性质知识点总结.doc

第 页 PAGE \* Arabic 1第 页 PAGE \* Arabic 1 二次函数的图象和性质知识点总结 一、知识点回顾 1. 二次函数解析式的几种形式： ①一般式：（a、b、c为常数，a≠0） ②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。 ③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。 ? 2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。 ②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。 ③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。 3. 二次函数的性质 函数 二次函数 a、b、c为常数，a≠0 （a、h、k为常数，a≠0） ? a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 图 象 ? (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 性 (2)对称轴是x＝，顶点是（） (2)对称轴是x＝，顶点是（） (2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k） (2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k） 质 (3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 (3)当时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 (3)当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 ? (4)抛物线有最低点，当时，y有最小值， (4)抛物线有最高点，当时，y有最大值， (4)抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值 (4)抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值 ? 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 ①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。 ②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当 5. 抛物线与x轴交点情况： 对于抛物线 ①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。 ②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。 ③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。 ? 二、考点归纳 考点一 求二次函数的解析式 例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试求f（x）。 解答： 法一：利用二次函数的一般式方程 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题意 故得f（x）＝－4x2＋4x＋7。 法二：利用二次函数的顶点式方程 设f（x）＝a（x－m）2＋n 由f（2）＝f（－1）可知其对称轴方程为，故m＝； 又由f（x）的最大值是8可知，a0且n＝8； 由f（2）＝－1可解得a＝－4。 故。 法三：利用二次函数的零点式方程 由f（2）＝－1，f（－1）＝－1可知f（x）＝－1的两根为2和－1，故可设F（x）＝f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）。又由f（x）的最大值是8可知F（x）的最大值是9，从而解得a＝－4或0（舍）。 所以f（x）＝－4x2＋4x＋7。 说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。 考点二 二次函数的图像变换 例2.（2008年浙江卷）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝ 。 解答：作出的图像，I、若所有点都在x轴上方，则ymax＝f（3）＝2可解得t＝1；II、若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即可得到的图像，则ymax＝f（1）或ymax＝f（3），解得t＝－3或t＝1，经检验，t＝1。综上所述，t＝1。 考点三 二次函数的图像的应用 例3.已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数，则f（1）的范围是（） A. f（1）≥25