18-19第3章3.2第3课时空间向量与空间角.pdfVIP

第 3 课时 空间向量与空间角 学习目标： 1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角． ( 重点、难点 )2.正确 区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系． ( 易错点 ) [ 自 主 预 习 ·探 新 知] 空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 设 l 1 与 l2 的方向向量为 a，b，则 cos 两异面直线 l 1 与 l2 π |a b·| 0，2 所成的角 θ θ＝|cosa，b|＝ |a||b| 设 l 的方向向量为 a，平面 α的法向 直线 l 与平面 α所 π |a n·| 0，2 成的角 θ 量为 n ，则 sin θ＝|cosa，n|＝ |a||n| 二面角 α-l- β的平 设平面 α，β的法向量为 n1 ，n2 ，则 |cos |n ·n | [0 ， π] 1 2 面角 θ θ|＝|cosn ，n 1 2|＝ 1 2 |n | |n·| 思考： (1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角 有怎样的关系？ (2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？ [提示 ] (1)设 n 为平面 α的一个法向量， a 为直线 a 的方向向量，直线 a 与 平面 α所成的角为 θ，则 π π －〈a，n〉，〈 a，n〉 ∈ 0， ， 2 2 θ＝ π π ， π 〈a，n 〉－ ，〈a，n〉 ∈ . 2 2 (2) 平面 α， β的法向量分别为 u， υ， α， β所构成的二面角的 条件 大小为 θ，〈u， υ〉＝ φ， 1/1 图形 关系 θ＝ φ