18-19第1章1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质.pdfVIP

1.3.2 “杨辉三角 ”与二项式系数的性质 学习目标 ：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式 系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力． (重点 )2.理解和掌握二 项式系数的性质，并会简单应用． (难点 )3.理解和初步掌握赋值法及其应用． (重 点) [ 自 主 预 习 ·探 新 知] 1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和， r r － 1 r 即 Cn＋ 1＝Cn ＋Cn . 2 ．二项式系数的性质 (1)对称性：在 (a＋b)n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系 0 n 1 n－ 1 r n－r 数相等，即 Cn＝Cn，Cn ＝Cn ，…， Cn ＝Cn . n＋1 (2)增减性与最大值：当 k＜ 2 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知 它的后半部分是逐渐减小的， 且在中间取得最大值． 当 n 是偶数时， 中间一项的 n n－1 n＋1 2 2 2 二项式系数 C 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数 C 与 C n n n 相等，且同时取得最大值． 3．各二项式系数的和 0 1 2 n n (1)C ＋C ＋C ＋…＋ C ＝2 ； n n n n 0 2 4 1 3 5 n－ 1 (2)C ＋C ＋C ＋…＝ C ＋C ＋C ＋…＝ 2 . n n n n n n [基础自测 ] 1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． ( ) 1 2 n (2)二项展开式的二项式系数和为 C ＋C ＋…＋ C . ( ) n n n (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同． ( ) [解析 ] (1) √ 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正 1/9 确． 0 1 2 n n (2)× 二项展开式的二项式系数的和应为 Cn＋