08建筑与几何学(三)_981005573.pptx

《建筑数学》第八讲建筑与几何学（三）橡皮几何与拓扑变换张 弘清华大学建筑学院 拓扑几何概述拓扑几何是与平面几何、立体几何等其他类型几何学研究截然不同的几何门类。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。而拓扑几何研究的过程却并不用知道棱长及定量关系、不用计算面积、体积，也没有复杂的计算公式，事实上，拓扑几何对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。它思考问题的基本出发点是:仅需考虑点和线的个数，以及相互顺序关系。在拓扑学中没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可改变，因此，拓扑几何也叫橡皮几何，本课主要内容包括橡皮几何与拓扑变换、莫比乌斯带、以及与拓扑理念相关的建筑设计案例等。橡皮几何与拓扑变换橡皮几何、拓扑同构、拓扑变换拓扑几何——找出与其他三张不同的一张 以色列的一位城市规划学者在清华建筑学院做讲座，说到老北京的街道都是南北正交，而中东的城市街道弯曲。两者的街道形态在拓扑上“同构”的，每一个交叉口都是两条街道相交。 一个几何图形任意“拉扯”（就像画在橡皮上），只要不发生割裂和粘接，可做任意变形，称为“拓扑变形”。两个图形通过“拓扑变形”可以变得相同，则称这两个图形是“拓扑同构” 。 拓扑几何——研究几何图形在一对一连续变换中不变的性质。不考虑几何图形的尺寸、面积、体积等度量性质和具体形状。 北大方正的王选就是研究汉字的拓扑结构，找到了表达和识别汉字的一种优化方法，发明了激光照排系统。拓扑几何——“橡皮几何” 上述圆、三角形、方形和任意封闭曲线同构 在拓扑变换中封闭围线的“内”和“外”的区分不变，边线上点的顺序不变。 上述四个图形不同构：封闭曲线，开口曲线，有一个三叉点的开口曲线，有一个四叉点和两个封闭域的封闭曲线 在拓扑变换中。端点、三叉点、四叉点、封闭域数量不变。拓扑几何——拓扑同构拓扑几何——拓扑同构球和立方体同构，与轮胎不同构。欧美小住宅和中国四合院的拓扑结构不同，前者与球同构，后者与轮胎同构。 放射形街道方格形街道 上述两张图片是否可以通过拓扑变换互相转化？在拓扑学中，两个流形，如果可以通过弯曲、延展、变形等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是拓扑同胚的（简称同胚）。如：圆和正方形是同胚的，而球面和环面就不是同胚的。拓扑几何——从拓扑同构到拓扑同胚拓扑几何——拓扑同胚的判定?拓扑几何——拓扑同胚的判定??拓扑几何——拓扑同胚判定的欧拉公式 上堂课曾提到，对于柏拉图多面体有:V：顶点数；F：面数；E：棱边数拓扑几何——拓扑同胚判定的欧拉公式 欧拉注意到如果一个闭曲面能连续地形变到一个闭的多面体，那么 这里 h 是环柄个数（也叫亏格数）2(1-h) 称为欧拉数右图上下对应图形为拓扑同胚造型，自左到右各组造型的环柄数分别为 1, 2, 3拓扑几何——地铁时空地图变换中的拓扑同胚拓扑几何——地铁时空地图变换中的拓扑同胚 头颅拓扑比较，看动物的进化。 拓扑几何——拓扑同构的应用 封闭围线构成一个封闭图形，如何判别“里”与“外”呢？在图形的“外”部确定一点，这容易判定，只要它离图形足够远。从这一点出发到需判定的点的路径，如果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“里”，如果和围线（边界）相交偶数次，则需判定的点在“外”。当然首选的出发点在“里”，从此点到需判定的点的路径，如果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“外”，如果和围线（边界）相交偶数次，则需判定的点在“里”。 拓扑几何应用——封闭图形的“里”与“外”判定方法也可简述为： 从外到里，从里到外的路径与边界交奇数次；从外到外，从里到里的路径与边界交偶数次。路径可以是曲折的，也可以穿过边界进进出出。 对于建筑而言，房屋就是封闭图形（体），人流流线就是“路径”，墙是“边界”，墙上的门就是“交点”。上图a.b.c.d四点在曲线内部还是外部？ 拓扑几何——判定封闭图形的“里”与“外”解上述不等式得：i） n=3时，m=3、4、5ii） n=4时，m=3iii) n=5时，m=3若以 表示这个正多面体，则（3，3）——正四面体 、（3、4）——正八面体 、（3、5）——正二十面体（4、3）——正六面体 、（5、3）——正十二面体拓扑几何——只存在5种正多面体的证明如果用拓扑几何方法证明，首先可以把立体几何问题转化为平面几何问题平行投影锥形投影拓扑变换拓扑几何——只存在5种正多面体的证明正8-面体正6-面体正4-面体正12-面体正20-面体 拓扑几何——只存在5种正多面体的证明拓扑证明：顶点数 V、棱数 E 和面数 F 的性质都可以由每个面上的边（棱）的数目 p 和每个顶点出发的棱的数目 q 给出。由于每条棱有两个顶点又在两个面上，因此： 另一个关系是欧拉公式: 综合上面等式，得到：于是由于 ，