流体力学教案第4章流体动力学基本方程.docVIP

PAGE 2 第四章 流体动力学基本方程 §4—1实际流体中的应力与变形速度 xyzd x y z dx A M (x,y,z) ?yx ?yz ?y ?zx ?x ?xy dz dy ?zx ?z ?zy 在理想流体中，由于没有摩擦力，故表面力只有压力。对于粘性流体，除法向应力外，还有切向应力(摩擦力)，则每一作用面上的表面力的合力不再垂直于作用面，而与作用面成一夹角。下面我们研究流场中A点中的应力状况。 dyyxzdxM?yx?yx+d?yx?xy+d?xy?xy dy y x z dx M ?yx ?yx+d?yx ?xy+d?xy ?xy 现在对平行六面体的中心M并与z轴平行的轴取矩(力矩 “－”， “+”)，则只有“前后左右”四个面的力对此轴有矩，而质量力和惯性力本身就是三阶无穷小量，而产生的力矩则是四阶无穷小量，故忽略不计，则力矩平衡方程如下： 由转动定律，合力矩=转动惯量×角加速展开，则： 同理，，则九个应力只有六个是独立的。 二、应力和变形速度之间的关系 现在推导应力和变形速度之间的关系： x x y dy ?yx ? d? u dx d?dx? ?xy υ x y dy dudt ? ? u u+du d? 二维运动情况： ；若，则为一维流动。 对一维运动，仅有x方向速度u，υ =0，其角度变形速度为：  在二维运动情况下，先考虑xy平面，若不考虑伸缩变形(即线变形)，即认为(实际并不等于0，否则与后面矛盾)有： ∵ ∴ 同理： 假定?在各个方向均为同一数值(为各向同性)，根据牛顿内摩擦定律有： 这就是广义牛顿内摩擦定律。 广义牛顿内摩擦定律：即切向应力等于动力粘度与角变形速度的乘积。 三、法向应力和线变形速度之间的关系 粘性流体的法向应力=理想流体的压力+粘性引起的应力 则：，，。由于p与σ反向，故p前加“－”号。又类似于虎克定律有： (其中，同名偏导数相当于应变，k相当于弹性模量)，经复杂推导：k=2? 所以： 三式相加，则： 即：三个法向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。 §4—2 实际流体中的运动微分方程 在流场中取一平行六面体的流体微团，由牛顿第二定律得，在x方向则有，则： x x y z dx (x,y,z) fz dz dy fy fx ?zx ?x ?yz 化简为： 将代入上式，则： 上式即为纳维尔—斯托克斯方程，写成矢量形式为： 。 讨论： (1)以上三式(即N-S方程)加连续方程联立，成一封闭方程组。原则上可解四个未知数。但实际上流动现象很复杂，而又是非线性的，所以，对大部分问题，N-S方程的求解，在数学上是很困难的，据有关书籍介绍，到目前为止，精确解(分析解)仅有一二十个。 (2)应用条件：不可压流体，且?=常数。 (3)对理想流体有：?=0，则N-S方程变成欧拉方程，所以N-S方程是不可压流体的普遍运动微分方程。 (4)由于在推导N-S方程中便用了牛顿内摩擦定律，所以有人认为N-S方程仅适用于层流，但也有人认为，如美籍华人陈景仁教授就认为N-S方程也适用于紊流。 (5)N-S方程中的压力为任意三个互相垂直法向应力的算术平均值。 (6)物理意义：单位流量流体的惯性力=单位数量流体的质量力、压力、粘性力之和，指向作用面的内法线方向。 §4－3理想流体的运动微分方程 在流动的流体中，取出一边长为dx、dy、dz的平行六面流体微团(系统)，平均密度为ρ。由于是理想流体，故作用在流体微团上的外力只有压力(只写出了x方向)和质量力。 f fx x y z p dz dx dy fy fz 由牛顿第二定律, 在x方向有： 上式即为理想流体的欧拉运动微分方程。写成矢量形式即为： 其中为单位质量流体的质量力。 又由于： 　　　　 　　　　 这里的x，y，z是流体微团的坐标，显然是t的函数，把全导数展开有： 又因为，，，所以有： = 1 \* GB3 ① 　 = 2 \* GB3 ②　　　　　　　　　 = 3 \* GB3 ③ 很显然，若流体处于静止状态，即u＝υ＝w=0。则欧拉运动微分方程变成欧拉平衡微分方程，即： 　　 　　　　 欧拉运动微分方程的另一形式是兰姆运动微分方程，将①式左边，则有： 　　 同理：将②式左边 　　　　③式左边 则有： 　　　 代入欧拉方程