同济第六版高等数学教案WORD版第09章重积分.docVIP

第九章 重积分 教学目的： 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。 教学重点： 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）； 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点： 利用极坐标计算二重积分； 利用球坐标计算三重积分； 物理应用中的引力问题。 §9. 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1? 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy面上的闭区域D, 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面, 它的顶是曲面z=f(x, y), 这里f(x, y)?0且在D上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D分成n个小区域 ?s 1, ?s 2, ? ? ? , ?s n . 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体. 在每个?s i中任取一点(x i , h i), 以f (x i , h i)为 高而底为?s i的平顶柱体的体积为 f (x i , h i) ?si (i=1, 2, × × × , n ). 这个平顶柱体体积之和 ? 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 ? 其中l是个小区域的直径中的最大值. 2. 平面薄片的质量. 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D, 它在点(x, y)处的面密度为r(x, y), 这里r(x, y)?0且在D上连续. 现在要计算该薄片的质量M. 用一组曲线网把D分成n个小区域 ?s 1, ?s 2, × × × , ?s n . 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: r(x i , h i)?s i . 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值: ? 将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量 ? 其中l是个小区域的直径中的最大值. 定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n个小闭区域 ?s 1, ?s 2, × × × , ?s n . 其中?s i表示第i个小区域, 也表示它的面积. 在每个?s i上任取一点(x i, hi), 作和 . 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分, 记作, 即 . f(x? y)被积函数, f(x? y)d?被积表达式, d?面积元素, x? y积分变量, D积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素: 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D, 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域?si的边长为?xi和?yi, 则?si=?xi?yi, 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素ds 记作dxdy, 而把二重积分记作 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素. 二重积分的存在性: 当f(x, y)在闭区域D上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f(x, y)在D上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f(x, y)在闭区域D上连续, 所以f(x, y)在D上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义: 如果f(x, y)?0, 被积函数f(x, y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, y)是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的. 二. 二重积分的性质 性质1 设c1、c2为常数? 则 . 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域? 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和? 例如D分为两个闭区域D1与D2, 则 . 性质3 (s为D的面积).