存在不确定性时最优控制问题数值解的比较研究.docx

Askhat Diveev et al. / Procedia Computer Science 186 (2021) 279–286 PAGE 287 PAGE 286 Askhat Diveev et al. / Procedia Computer Science 186 (2021) 279–286 存在不确定性时最优控制问题数值解的比较研究 摘要 讨论了最优控制问题的数值解。本文比较了一种新的综合最优控制方法和一种直接控制方法，以解决一组移动机器人在具有相位约束的复杂环境中，在模型和初始条件存在噪声和不确定性的情况下的控制问题。本文表明，基于系统稳定性的方法对不同的扰动不太敏感。 关键词:数值方法；最优控制；符号回归；相位限制。 1。 介绍 本文考虑最优控制设计的任务[1，2]。解决这个问题的主要基本方法是庞特里亚金最大值原理。但是，如果我们向国防工业、机器人技术等不同领域的实用工程师发表演讲，结果会发现，由于许多客观原因，最大值原理并没有得到广泛应用。这种方法本身是在60年代发展起来的，当时计算机技术与现代技术非常不同，能够建立分析解决方案非常重要，至少对于小规模的问题是如此。目前的趋势是，计算机技术和数值方法正在逐渐排挤分析方法。由于引入了共轭变量，最大值原理的应用使系统的维数加倍，这需要额外的计算成本，以及寻找共轭变量的初始条件。 此外，工程师和开发人员为其解决最优控制问题的控制对象模型通常是对象本身的非常简化的版本，并且当转移到真实对象时，所产生的轨迹可能不再是最优的。 特别值得注意的是，执业工程师不控制不稳定的物体。首先保证控制对象的稳定性，然后才设定最优运动轨迹。使用基于最大值的方法 原则上，任何地方都没有提到稳定性，因此，在初始条件下，在改变积分步骤时，最终的解可能对模型中甚至微小的偏差很敏感。 此外，相对于找到的最优轨迹为运动提供稳定性通过向模型添加调节器来改变对象本身，因此找到的轨迹对于稳定对象的新模型不是最优的。这一事实可以归因于其他众所周知的最优控制方法，包括动态规划[3]，非线性规划的数值方法[4]。 基于以上所述，今天在计算机的巨大能力下，应用最大值原理来解决最优控制问题正逐渐失去其相关性，并让位于现代数值方法，该方法允许解决具有复杂环境并考虑到可能的模型不准确性的大尺寸问题。 本文提出了综合最优控制的方法[5，6]，它实现了一种基于用现代符号回归数值方法保证对象稳定性的工程方法[7，8]。作为合成方法的结果，接收到不同类型的控制。这种控制不是对对象的外部影响，而是控制它的内部状态，更确切地说是状态空间中的一个平衡点位置。因此，模型的不准确性、初始条件和其他误差被拉平。唯一的困难是综合问题，但现在可以用符号回归方法进行数值求解。 本文对综合控制方法和将最优控制问题简化为非线性规划的最流行的直接数值方法进行了大量的实验比较。给出了一个复杂的机器人最优控制任务的比较:在具有动态和静态相位约束的相位约束环境中，一组机器人从初始状态移动到终端状态。由于比较的原因，在模型和初始条件中引入了特殊的扰动。 2。 综合最优控制 用数学方法表述综合最优控制的问题陈述。 给出了常微分方程组形式的控制对象动力学的数学模型 x = f(x，u)， (1) 其中x是状态空间向量，x ∈ Rn，u是控制向量，u ∈ U ? Rm，u是紧有限集，m ≤ n。 初始条件已设置 x(0) = x0 ∈ Rn， 也设置了终端条件 (2) x(tf ) = xf ∈ Rn， 其中tf是有限的控制过程结束时间 (3) t，如果t TF = t+–否则 t+和x(t)x∞≤ε ε和t+被赋予正值。 给定积分泛函形式的质量准则 (4) tf J = f(x(t)，u(t))dt → min。 (5) 0 这种方法被称为综合最优控制，因为它首先为对象的综合稳定系统问题提供了解决方案。 因此，作为第一步，有必要找到一个多维函数形式的控件，它有一个状态空间向量和一些参数向量作为参数 u = h(x，x∞), (6) 其中x∫是与状态空间x的向量具有相同维数的参数向量。 函数(6)具有这样的性质，如果它被插入到微分方程(1)的右边，那么系统的雅可比 x = f(x，h(x，x∫))， (7) 对于参数向量雅可比的某些值是稳定的 关于第一李雅普诺夫定理，或者?x?矩阵 A(x) = , ?x在平衡点有×( x∞) (8) f(x∞，h(x∞，x∞)= 0， 所有稳定的特征值，或者一个多项式 (9) det(A(x∞(x∑)-λE)= 0， 其中E是单位矩阵，所有根都在复平面的左半部分。 此外，作为第二步，需要找到几个参数向量 (10) x∑= { x∑，1，...，x∑，K} ∈，Rn (11) ?f(x,h(x,