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课时跟踪检测(六)用空间向量研究距离、夹角 MP ［A级基础巩固］ AB=29 BC=2, DDi=3,则 AC 与 BZh所成角的 AB=29 BC=2, DDi=3,则 AC 与 BZh所成角的 A. 10 B. 3 八8 10 % 解析：选D 点P到平面仪的距离 \PA—?〃| A— |—2-4-41 10 P(—2,l,4)到平面仪的距离为() |〃| 3 2.在长方体ABCD 中, 余弦值为() 。1 ( 八\ \\ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ \D \ W ■ 7 B则异面匕A. 0 B 则异面 匕 解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，则玖(0,0,3), 8(2,2,0), A(2, 0,0), C(0,2,0).所以两=(一2, -2,3), AC = (一2,2,0).所以 cos BDj, AC) =_ _ 两II京I 3-在长方体ABCD-AiBxCiDi中,和GD与底面所成角分别为60。和45°, 直线BiC和CiD所成角的余弦值为() A普 B.亨 D?平 BAZ)i% Ci解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，可知ZCBiCi = 60°, ZDCiDi=45°,设 BiCi=l, CCi=y[3=DDi. B A Z)i % Ci ???CiDi=y,则有 Bi(鹏,0,0), C(V3, 1, “)，Ci(V3, 1,0), Q(0,l, AB?C=(04, S), GD=(~V3, 0, ). ? / f % 八二、 BiC*CiD . .cos〈BiC, CiD)= . 一 I^CIIGbl 4.已知正四棱柱ABCD-A^CiD!中，AAi=2AB,则CQ与平面BDCi所成角的正弦 值等于()A1B*c*D-3解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，设AAi=2AB=29则 8(1,1,0), C(0,l,0), D(0,0,0), G(0,l,2),故 4.已知正四棱柱ABCD-A^CiD!中，AAi=2AB,则CQ与平面BDCi所成角的正弦 值等于() A1 B* c* D-3 解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，设AAi=2AB=29则 8(1,1,0), C(0,l,0), D(0,0,0), G(0,l,2),故=(1,1,0), DG = (0,l,2), DC ▲ z 4iZ^4- = (0,1,0).设平面BDC1的法向量为〃 J, Z),则 n?DB =0, A\ %： w-DCi = 0, l/c y B fx+j=0, Ly+2z=0, 直线CI与平面BDCi所成的角为们 则sin〃=|cos〈〃，~DC)|= |w，￡C| =|y故选a. 1〃1?同 5.如图，在空间直角坐标系￡-xyz中，四棱柱ABCQ.BiG玖为 长方体，AAi=AB=2ADf点E, 8分别为CD, 4诅的中点，则平面 AtBiB与平面AiBE夹角的余弦值为() B?-乎A? B?-乎 c.平 解析：选C 设40=1,则Ai(l,0,2), 5(1,2,0).因为E, 8分别为QDi, AiB的中点, A A 的法向量，则AiE*m=0,AiBe/n=0,_x+y=0,取x=l,则v=z=l,所以平面AiBE的一 [2j-2z=0.所以 ￡(0,1,2), 所以4诏=(一 1,1,0), B = (0,2, 一 的法向量，则 AiE*m=0, AiBe/n=0, _x+y=0, 取x=l,则v=z=l,所以平面AiBE的一 [2j-2z=0. 、m / 二nr DA向重，所以 cos〈m, DA = 、m / 二nr DA 向重，所以 cos〈m, DA = 、 i ― =下=十?所以平面AiBiB与平面AiBE夹角的余弦\m\\DA\ E 值为辛，故选C. 6.在正方体ABCD -AiBiCiDx中，M, N分别是棱AAi和8列的中点，则sin (CM, DiN〉= Ci解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2. Ci 则 C(0,2,0),肱(2,0,1), ￡1(0,0,2), N(2,2,l). :.~CM = (29 一2,1), Af 4 /n ? ?N WV=(2,2, -1). /—— ——、 4—4—1 1 cos〈CM, D1N) = 3x3 = —§? /.sin(CM, WV =半. 答案:半 7.如图，已知正三棱柱ABC-AiBiCi的各条棱长都相等，肱是侧棱CG 的中点，则异面直线ABi和所成角的大小是 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，。为BC中点，设三棱柱的 棱长为 2g,则点 4(寸％0,0), 8(0, %0), Bi(0, a^2a)9 M(0, ~a9 a)9 ABi = (—y