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课时跟踪检测（一）空间向量及其线性运算 [A级基础巩固] 下列命题中正确的是（） 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 向量a, b, c共面，即它们所在的直线共面 C.若两个非零空间向量而与布满足而+布=0,则而〃布 D.若a〃b,则存在唯一的实数兀使a=2b 解析：选C A中，若》=0,则。与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于 同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，V AB + CD = 0, A AB=-CD, :Jab与布共线，故济〃布正确；D中，若5=0, a^O,则不存 在 2,使 a=Ab. 满足下列条件，能说明空间不重合的4, B,。三点共线的是（） ~AbYbC=T^C AB-BC = AC ~AB=~BC D. \AB\=\BC\ 解析：选C 对于空间中的任意向量，都有AB + BC = AC,选项A错误；^AB-~BC =AC,则 AC+BC = AB,而 ~AC+~CB=~AB9 据此可知 ~BC =~CB ,即 3,。两点重合, 选项B错误；~AB=~BC,则A, B, C三点共线，选项C正确；\AB\=\BC\9则线段A3 的长度与线段8C的长度相等，不一定有A, B, C三点共线，选项D错误. 3.设有四边形ABCD9。为空间任意一点，KAO + OB = DO + OC,则四边形ABCD 是（） B.空间四边形D. B.空间四边形 D.矩形 C.等腰梯形 解析：选 A V AO + OB =~DO +OC9 A AB = DC. :Jab //~dc 且|而1=1说|? 四边形ABCD为平行四边形. 4.（多选）如图，在正方体ABCD-AiBrCiDi中，下列各式中运算的结果 为向量8功的是（）A.AB(BC 为向量8功的是（） A. AB (BC VbB\)~D^C\ C. (AD-^B)+DDi D. 解析：选ABC 对于选项A,（涂1 一无I）一而=航一而=就；对于选项B,（BC +两）一方甘1=无+荀 1= 丽；对于选项C,（而一而）+面=瀚+面=航；对 于选项 D, (^i-A^)-DDi = (B^Di-^B)-DDi=~BDi+D^b=~BD9 故选 A、B、C. 5.己知正方体ABCD-AiBiCiPi中,涂=烦芯,若显 =xAAx+y（AB + AD）,则（ ） A. x=l, y A. x=l, y=2 B. x=2 y= 1 C. x=l,D? x= C. x=l, 解析：选D 因为最=森+涂=元言+打直1=诵+分下+而），所以x=L j 向量，序与4* 向量，序与 6.如图所示，在三棱柱ABC-Af Br Cf中，衣与4，C，是 Bf Bf 是 向量?（用相等、相反填空） z A 解析：由相等向量与相反向量的定义知：京与4’ C’是相等向量，而与4’是 相反向量. 答案：相等相反 l=J[==i7.设％,巴是空间两个不共线的向量，已知~AB=2el+ke2, CB=ei+3e2, ~CD = 2ei-e2,且A, B, 〃三点共线，则 l=J [==i 解析：由已知得~BD=~CD-~CB=(2ei-e2)-(ei+3e2) = el-4e29 VA, 8, Z)三点共 线，A AB与五方共线，即存在2CR,使得而=疗方.?.?2幻+旋2=2何1一4°2）=如1一4而2. Vei, e2 不共线,2=2, Vei, e2 不共线, 2=2, —42,解得—8. 答案：-8 8.在空间四边形ABCD中，连接AC, BD.若/\BCD是正三角形，且E为其中心，则而 +^BC-^DE-~AD的化简结果为 解析：如图，取8C的中点连接。比 则~DF =^DE.A AB DE-AD = AB + BF-DF + DA = AF + FD + DA =0. 9.如图所示，在三棱柱ABC-AiBiG中，肱是881 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量: ⑴ CB+BAi； (3)U—京一矛. 解：⑴诙+就=瓦. c c (2)因为M是881的中点, 又A= BBx,所以 AC + CB+^AAx = ~AB+BM ^AM 向量宓，AM,就如图所示. 10.如图，在四面体A-BCD中，M是D的中点，P是8M的中点, 点。在线段AC上，且AQ=3QC.证明：P。〃平面BCD. MDC证明:法一：过P,。分别作PS//AD交BD于点S, QT//AD交CD M D C 于点T,连接ST（图略）, 则~PS=^MD, ~QT=^AD. 因为~MD=^AD9 所以~PS=~QT9 所以四边形PQTS是平行四边形，则~PQ^ST. 又PQG平面BCD, STU平面BCD,所以P。〃平面BCD. 法二：由图形易得~PQ =~PB + BC +