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课时跟踪检测（二十） 直线与椭圆的位置关系 [A级 基础巩固］ 1.己知直线/过点（3, -1）,且椭圆C： +会=1,则直线，与椭圆C的公共点的个 数为（） A. 1 B. C. 2 D. 32 （—1）2 解析：选C因为直线过定点（3, 一 1）且云+成匕＜1, 所以点（3, —1）在椭圆的内部，故直线，与椭圆有2个公共点. 2.若直线y=kx+2与椭圆号+g=l相切，贝!I斜率k的值是（） til B -乎 C.土普 D.土平 解析：选C 把y=kx+2代入百+，=1,得（2+3砂）￥+12々+6=0,由题意知J=0, 3.过椭圆x2+2j2=4的左焦点作倾斜角为§的弦AK,则弦48的长为（） A* B.^ C? D2 v16 u6 解析：选B易求直线48的方程为y=“(x+S). y=y[3(x+y/2), 厂 9 . 消去)并整理，得 7x2+12\2x+8=0.设 A(xi, yi), B(x2, J2), x2+2y2=4 则 Xl+x2=_尹,X1X2=^. 由弦长公式，得|A8|=J1+*|*i—0|=J1+（S）2X 一号仅）2—4乂3=￥. — x2 V2 4.己知F是椭圆药+3=1的一个焦点，为过椭圆中心的一条弦，则△A8F的面 积最大值为（） A. 6 B. 15 C. 20 De 12 解析：选D由题意知， Smbf= §|OF| ?跖 一/2氐§|0同?2。=12. 5.己知椭 芹+若=1(。＞力＞0)的一条弦所在的直线方程是x-j+5 = 0,弦的中点是 M(-4,l),则椭圆的离心率是( B* 展 展 解析：选C 设直线X—j+5=0与椭圆相交于A(X1, Ji), B(x2, J2), 则 xi+x2=—8, ji+j2=2,直线 48 的斜率 = Xi X2 (XI +乂2)。1 一*2)L+》2)01 一)2) _ b2tt 。 十 — b2 . )1—)2 _比 Xl+x2 .史_【j?+K=1, ?海=牙 故椭圆的离心率g=-= 故椭圆的离心率g=-= 0L b2 a/3 1_京=项故选C. 2 26.已知椭圆 2 2 6.已知椭圆*+赤=1， 过椭圆的右焦点尸且垂直于x轴的直线与椭圆交于A, B两 点,则\AB\= 2b2 2X4 2b2 2X42 32 解析：易求得〃=5, b=4,所以\AB\= a — 5 5* 7.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地 点A距离地面m km,远地点B距离地面〃 km,地球半径为R km,关于这个椭圆有下列 说法: ①焦距为n—m； ②短轴长为寸(m+R)(n+R)； 》 n—m ③离心率e=g〃+2R. 其中正确说法的序号为一 解析：由题意，得 〃+A=g+c, m+R=a_c,可解得 2c=n—m, 2b=2y]a2—c2=2\l(m+R)(n^-R), e=mJ^nJ^2R9 故①③正确，②不正确. 答案：①③ 2 2 8.过椭圆号+；= 1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于4, 3两点，。为坐标 原点，则△04B的面积为 解析：由题意知，右焦点的坐标为(1,0), 直线的方程为j=2(x-l),将其与§+§= 1联立，消去丹得3x2-5x=0. 则所以 Saoab=||AB|-J=|x^^X^=|. 则 所以 Saoab=||AB|-J=|x^^X^=|. 答案房 9.已知椭圆4x2+j2=l及直线j=x+m,若直线被椭圆截得的弦长为套/ 方程. 即 5x2+2mx解：把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+j2=l,得4x2 即 5x2+2mx + /n2—1 = 0.(*) 则 J = (2m)2-4X5X(m2-l)=-16m2+200, 解得一 解得一 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为Xl, X2 . 2m m2—l 则 X1 十冲二一勇-,X[X2 = ~~ 根据弦长公式，得 而?顼半,解得〃=°. 因此，所求直线的方程为J=X. 2 2 10.如图，已知椭圆圭+右=1(。对＞0), F1,凡分别为椭圆的左、 右焦点，4为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点8. ⑴若ZFiAB=90°,求椭圆的离心率; （2）若椭圆的焦距为2,且AFi=2FiB,求椭圆的方程. 所以Q=“C,解：⑴若ZFiAB=90°,则左AOFi为等腰直角三角形.所以^\OA\=\OF2\9即 所以Q=“C, (2)由题知 A(0, b), F2(l,0),设 j), 9比 2 ..2— — 3 b / 丫2 4 4 2 ..2 由AF2 = 2F2B,解得x=2, y=~2-代入/+乔=1，得乒+帝=1，即疝+彳=1，解得 a2=3, b2=2, 所以椭圆方程为号+￥=1. [B级综合运用] 11.直线